Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 61

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 202 >> Следующая


Если переменные не независимы, но подчинены дополнительным условиям g^ (х, у,...) =0, g2 (х, у, ..) = 0,----gf,(x,y----) = 0, то для получения необходимых условий экстремума или, иначе говоря, дая нахок- § 1 Постановка задачи вариационного исчисления

153

дения всех стационарных точек можно воспользоваться методом множителей Лагранжа. Этот метод заключается в следующем правиле. Для того, чюбы найти внутренние точки (х0, у0,...) заданной области, в которых f(x, у,...) достигает максимума или минимума или вообще имеет стацио^рный характер, образуем с помощью h'-(-1 новых параметров („множителей") X0, X1,___, Ih функцик)

Р—У + \ Sr+• - •+^a Sh

и находим значения лг0, отношения параметров X0, из

уравнений:

aF п ^f О

(1)

число которых равняется числу неизвестных. Эти уравнения представляют собой искомые условия стационарности функции f(x, у,...) или необходимые условия экстремума этой функции при заданных дополнительных условиях = 0.....gh = 0.

Если X0 отлично от, нуля, то вследствие однородности функции t относительно X0, X1,..., Ih мы имеем право считатьX0 равным единице. Метод Лагранжа представляет собой не, что иное, как чрезвычайно изящный приём, избавляющий нас от необходимости непосредственно исключить из функции f(x, у,...) с помощью дополнительных условий h переменных и нарушить в процессе элиминирования симметрию формул.

Рассмотрим несколько типичных примеров, которые, несмотря на свой элементарный характер, полезны для ориентировки' в вопросе.

а) Из веек треугольников, имеющих заданное основание и заданный периметр, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник-, при заданной же площади и заданном основании равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр.

Уже на примере этой простой задачи, которую можно решить без всяких вычислений путем рассмотрения эллипса, фокусами которого служат концы основания рассматриваемых треугольников, мы встречаемся со своеобразным законом взаимностй, общую формулировку которого мы приведем в дальнейшем (§ 11, 2, стр. 243).

б) Закон преломления и отражения света. Так называемый принцип Ферма "о кратчайшем времени распространения света утверждает, что световой луч распространяется от одной заданной точки до другой по тому пути, для которого время распространения света является кратчайшим по сравнению' со всяким другим „возможным" путем, т. е. со всяким воображаемым путем, удовлетворяющий заданны^ условиям. Отсюда непосредственно вытекает прямолинейность распространения света в однородной среде. Если потребовать далее, чтобы световой луч дошел до заданной кривой (зеркала) и, не пересекая ее, повернул ббратно, то из условия обращения в нуль первой производной от времени распространения света непосредственно вытекает, что оба прямолинейных отрезка, образующих путь светового луча, пересекаются в точке кривой так, что 154

Основные понятия вариационного исчисления

Гл. IV

углы, составленные-ими с касательной к кривой, равны между собой (закон отражения). Если же данная•кривая служит границей между двумя областями с различными скоростями распространения света C1, C2 и если световой луч должен перейти из одной области в другую, то он состоит из двух прямолинейных отрезков, удовлетворяющих известному закону преломления света: sin Ct1 :sin а2 = C1 :с2, где Ct1 и а2 означают углы, образуемые обоими отрезками с нормалью к кривой в точке пересечения светового пути с кривой.

в) Задача Штейнера. Даны три точки Av A2, A3, образующие остроугольный треугольник. Требуется найти четвертую точку Р, для которой сумма расстояний PA1 -J- PA2 -f- PAs имеет минимальное значение. Опишем из вершины A3 окружность радиусом PA3; тогда точка P должна находиться в той точке этой окружности, для которой сумма PA1-^-PA2 имеет минимальное значение; поэтому, согласно п. б., прямые PA1 и PA2 должны составлять равные углы с радиусом PA3. Повторяя это рассуждение для вершин A2 и As, мы получаем, что все три угла

A1PA2, A2PA3 и A3PA1 Должны быть равНы между собой и каждый из

2Tt

них равняется, следовательно, - , и задача таким образом решена.

о

г) Изопериметрическая задача для многоугольников. Среди всех не пересекающих самих себя многоугольников с заданным четным числом сторон 2п и с заданным периметром 21 требуется найти многоугольник, имеющий наибольшую плошадь. Докажем, что .искомым многоугольником будет .правильный 2п -угольник. Для этой цели убедимся сначала в том, что наш искомый многоугольник П (Av A2, A3,.. .,A2n) должен быть обязательно выпуклым. В самом деле, если искомый многоугольник не выпуклый, то у него имеются две такие вершины, например, A1 A3, для которых обе соединяющие их ломаные линии, образованные сторонами многоугольника, расположены по одну сторону от прямой A1A3 (прямая A1A3 является, как говорят, опорной прямой многоугольника). Но тогда, заменяя одну из этих ломаных линий, например A1A2A3 ее зеркальным отражением A1A2A3 относительно прямой A1A3, мы получим, что новый многоугольник, образуемый ломаной линией A1A2A3 и ломаной линией AsAi,... A2n, A1 имеет тот же периметр, что и первоначальный многоугольник, и ограничивает большую площадь, чем этот последний. Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением выпуклых многоугольников. Покажем теперь, что искомый многоугольник должен быть равносторонним. В самом деле, если бы две смежные стороны A1A2, A2A3 не были бы равны между собой, то мы могли бы согласно п., а заменить вершину A2 другой вершиной A2 так, чтобы A1At2 -j- A3A2 = = A1A2-^-A2As и чтобы площадь треугольника A1A12A3 была больше площади треугольника A1A2A3, так что и площадь нового многоугольника будет больше площади многоугольника II вопреки нашему допущению, что II является максимальным многоугольником. Чтобы, наконец, показать, что II может быть вписан в окружность, разложим II на два многд-угольникд II1, H2, имеющих одинаковые периметры, с помощью диагонали d, соединяющей две противоположные вершины A1 и Ап+1; многоугольники II1 и II2 имеют равные площади, ибо если бы площадь Il1 была § 1 Постановка задачи вариационного исчисления 155
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 202 >> Следующая

Реклама

Аренда мини погрузчика

Широкий выбор погрузчиков, мини-погрузчиков

vega.rent

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed