Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ац0 % Ayilxa = B^oxApy (42)
*«—? гл+^гл - гл гл+гл гл • <4з>
В этом результате важно то, что в правой части равенства (42) стоит только 4-вектор 4р и отсутствуют его производные. Из тензорного характера Allox — Alix0l а также из того, что Ap представляет собой произвольный 4-вектор, в силу выводов § 7, следует, что B9vi0X является тензором (тензор Римана — Кристоффеля).
Математический смысл этого тензора заключается в следующем. Если континуум обладает тем свойством, что существует такая координатная система, в которой ^ptv — постоянные величины, то все B^ox обращаются в нуль. Если вместо первоначальной системы выбрать любую новую координатную систему, то ^ptv в этой последней уже не будут больше постоянными. Однако тензорный характер величин B^0т влечет за собой обращение в нуль всех компонент в произвольно выбранной системе координат. Следовательно, обращение в нуль тензора Римана является необходимым условием того, чтобы посредством надлежащего выбора координатной системы можно было сделать g^v постоянными *). В нашей задаче
1J Математики доказали, что это условие является также и достаточным. 176 А. Эйнштейн
это соответствует случаю, когда при соответствующем выборе координатной системы в конечных областях справедлива специальная теория относительности.
Свертка по индексам т и р в выражении (43) для ByiOT дает ковариантный тензор 2-го ранга
S = d^nV —ё дЫУ — g
^v дхд dxyj \ а / дха
Замечание о выборе системы координат. Уже в § 8 в связи с соотношением (18а) было сделано замечание о том, что некоторые преимущества дает такой выбор координат, при котором |/ —g = 1. Взгляд на уравнения, полученные в двух последних параграфах, показывает, что благодаря такому выбору законы образования тензоров значительно упрощаются. В частности, это верно для только что выведенного тензора Bixл,, который в излагаемой теории играет основную роль. Именно, указанный особый выбор координат влечет за собою обращение в нуль o|Liv? так что тензор Bllv сводится к Rilv.
Поэтому в дальнейшем я буду давать все соотношения в том упрощенном виде, который следует из указанного специального выбора координатной системы. К общековариантным уравнениям будет нетрудно вернуться, если в каком-нибудь частном случае это окажется желательным.
В. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
§ 13. уравнение движения материальной точки в гравитационном поле. выражение для компонент гравитационного поля
Согласно специальной теории относительности, свободное тело, не подверженное действию внешних сил, движется прямолинейно и равномерно. С точки зрения общей теории относительности это верно лишь в той части четырехмерного пространства, в которой координатная система K0 может быть выбрана так, что g^v принимают специальные постоянные значения, указанные в (4).
Если мы рассматриваем это же движение относительно произвольно выбранной координатной системы K1, то в соответствии со сказанным в § 2 тело будет двигаться с точки зрения системы Ki в некотором поле тяготения. Закон движения относительно системы K1 легко получается из следующего рассуждения. В системе K0 траектория движения представляет, собой четырехмерную
(44) ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 177-
прямую, т. е. геодезическую. Но так как геодезическая определяется независимо от координатной системы, то ее уравнение будет также уравнением движения материальной точки относительно системы K1. Положив
(45)
найдем, что уравнение движения точки относительно K1 запишется в виде
dhут _ -рт dxH dxv
^o)
Сделаем теперь весьма естественное допущение, что эта общекова-риантная система уравнений определяет движение точки в гравитационном поле и в том случае, когда не существует системы K0, относительно которой в конечных областях пространства справедлива специальная теория относительности. Мы тем более вправе делать,такое допущение, что уравнение (46) содержит только первые производные от ginv, между которыми — даже в частном случае существования системы K0 — отсутствуют какие-либо соотношения *).
Если все равны нулю, то точка движется прямолинейно и равномерно; следовательно, эти величины обусловливают отклонение движения от прямолинейного и равномерного. Они являются компонентами гравитационного поля.
§ 14. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ В ОТСУТСТВИЕ ВЕЩЕСТВА
В дальнейшем мы будем различать «гравитационное поле» и «вещество» в том смысле, что все, кроме гравитационного поля, будем называть «веществом»; это значит, что к последнему относится не только «вещество» в обычном смысле, но и электромагнитное поле.
Наша ближайшая задача заключается в отыскании уравнений гравитационного поля в отсутствие вещества. Для этого опять воспользуемся тем же методом, какой применялся в предыдущем параграфе при выводе уравнения движения материальной точки. Первоначальная теория относительности, в которой g?V имеют извест-
Лишь между вторыми (вместе с первыми) производными, согласно § 12, существуют соотношения В^ot = 0.
12-0919 178 А. Эйнштейн
ные постоянные значения, является тем частным случаем, для которого искомые уравнения заведомо должны удовлетворяться. Пусть этот частный случай осуществляется в некоторой конечной области по отношению к определенной координатной системе K0. В этой системе все компоненты B9vi0x тензора Римана [формула (43)] обращаются в нуль. Но в таком случае они будут равны нулю и в любой другой системе координат в рассматриваемой области.
