Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dg»v= -g^dgafr
(31)
и соответственно
(32)
Соотношение (31) можно преобразовать в другое, которым мы также часто будем пользоваться. В силу формулы (21),
dga? дха
172 А. Эйнштейн
Подставляя это во вторую формулу (31) и принимая во внимание соотношение (23), получаем
В результате подстановки правой части равенства (34) в (29) получаем
1 dV~g
V~g
дха
(П- 1275 1 <29а>
Дивергенция контравариантного 4-вектора. Если умножить соотношение (26) на контравариантный фундаментальный тензор ^v (внутреннее умножение), то его правая часть после преобразования первого члена примет следующий вид:
Последний член этого выражения на основании равенств (31) и (29) можно привести к виду
JLIflA +-L^l-A I 1
2 dxv Лх+ 2 dx? у—g дха g Лх*
Так как обозначение индексов, по которым производится суммирование, не имеет значения, то первые два члена последнего выражения взаимно уничтожаются со вторым членом стоящего выше выражения; последний же член можно объединить с первым членом стоящего выше выражения. Полагая
g^ All = Av,
где Av, подобно Aii, — произвольный вектор, получаем, наконец,
Этот скаляр и представляет собой дивергенцию контравариантного 4-вектора Av.
«Ротор» (ковариантного) 4-вектора. Второй член в формуле (26) симметричен по индексам \i и v. Поэтому Alkv — Avii оказывается особенно простым по своей структуре (антисимметричным) тензором. Мы имеем
дЛ,, А А
(36)
Антисимметричная тензорная производная 6-вектора. Если применить (27) к некоторому антисимметричному тензору 2-го рапга Aliv, затем образовать из полученного равенства путем цик- ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 173-
лической перестановки индексов fx, v, о еще два аналогичных равенства и, наконец, сложить все эти три равенства, то получим тензор 3-го ранга
R — А і А і А — 9А^iv і dAv° і дЛ°У . /о 7ч
-0Iiiva — ^1ILiva ~Г-^van ~Г ^aiLiv— qx^ І І ' )
легко доказать, что этот тензор антисимметричен.
Дивергенция 6-вектора. Если равенство (27) умножить на grM-OCgrV? (смешанное умножение), то получим тоже тензор. Первый член правой части равенства (27) можно записать в следующем виде:
ih w^) - ^ - dS
Если заменить g^g^/l^a на и g^g^A^ на Aa^ и подставить в преобразованный первый член вместо
дха дх0
соответствующие значения по формуле (34), то в правой части равенства (27) будет семь членов, из которых четыре члена взаимно уничтожатся. Остается только
<38>
Это и есть выражение для ковариантной производной контравариантного тензора 2-го ранга. Оно может быть соответствующим образом составлено и для контравариантных тензоров более высокого и более низкого рангов.
Заметим, что аналогичным путем можно получить также ковари-антную производную смешанного тензора A^:
+ <39)
Производя свертку в формуле (38) по индексам ? и о (внутреннее умножение на o?), получаем контравариантный 4-вектор:
Вследствие симметрии относительно индексов ? И X третий
член правой части обращается в нуль в том случае, когда Аа$ есть антисимметричный тензор, что мы и будем считать в дальнейшем; 174 А. Эйнштейн
второй член может быть преобразован на основании (29а). Таким образом, получается
Aa =
V-g <>ч v '
Это и есть выражение для дивергенции контравариантного 6-век-тора.
Дивергенция смешанного тензора второго ранга. Если в выражении (39) произвести свертку по индексам а и о и принять во внимание формулу (29а), то получим
<41,
Если в последний член этого равенства ввести контравариантный тензор Apa = g?TAx, то он примет вид
Далее, если тензор Aqo симметричен, то последнее выражение переходит в
Равным образом, если бы мы вместо Ap0 ввели симметричный ковариантный тензор Aqg — gpa§o$Aa$, то последний член, в силу (31), принял бы вид
2 V 8 Oxll
Итак, в рассмотренном случае симметричного тензора выражение (41) может быть заменено следующими двумя выражениями:
V^ AuJJ^.-4-?. ^TtM., (41а)
(41«)
которыми мы в дальнейшем воспользуемся.
§ 12. тензор римана — кристоффеля
Рассмотрим теперь те тензоры, которые могут быть получены из фундаментального тензора ^rptv одним лишь его дифференцированием. На первый взгляд может показаться, что все очень просто: достаточно подставить в (27) вместо произвольно взятого тензора Aliv фундаментальный тензор ^rptv, чтобы таким образом ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 175-
получить новый тензор, а именно ковариантную производную фундаментального тензора. Однако легко убедиться в том, что эта ковариантная производная тождественно обращается в нуль. Цель все же достигается следующим образом. Подставим в соотношение (27) выражение для Aixv
л -iduL— IPvXa
- dxv і р J
которое представляет собой тензорную производную 4-вектора A Тогда получается (при несколько измененном обозначении индексов) тензор третьего ранга
л 92aVl f ^a) дАр f Vir) дАр (Iax X dA?
л»ох~~ дхадхх { р J дхх \ р J дха \ р J дхр +
Это выражение приводит к мысли о составлении тензора Ali0X — — А ,хтст. Действительно, при этом следующие члены выражения для Aiiot ^взаимно уничтожаются с соответвующими членами из Aijlto: первый, четвертый член, а также последний член внутри квадратных скобок, ибо все эти члены симметричны по а и т. То же самое справедливо и для суммы второго и третьего членов. Таким образом, мы получаем
