Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 63

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 205 >> Следующая


Из возможности изменения порядка дифференцирования по р, и v, а также из симметрии, в силу (23) и (21), символа относительно [XHV следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках, тоже симметрично относительно тех же индексов. Так как из любой точки континуума можно провести геодезическую линию в любом направлении и, следовательно, dxjds представляет собой 4-вектор с компонентами, соотношения между которыми могут быть проивольными, то, в силу выводов § 7,

A»v= дх^дху~{ (25)

есть ковариантный тензор второго ранга. Таким образом, из ковариантного тензора первого ранга

А — iSL

можно посредством дифференцирования образовать ковариантный тензор второго ранга

Назовем тензор Aliv ковариантной производной тензора Avl. Прежде всего можно легко показать, что этот способ построения приводит к тензору даже в том случае, когда Avl нельзя представить в виде градиента. Для того чтобы убедиться в этом, мы предварительно заметим, что ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 169-

представляет собой ковариантный 4-вектор, если \|э и ср — скаляры. То же самое справедливо в отношении суммы, состоящей из четырех таких членов:

еслиг|)(1), ф(1), . . ., г|)(4), ф(.4) — скаляры. Но ясно, что каждый ковариантный 4-вектор может быть представлен в виде Svi. Если Avl является 4-вектором, компоненты которого представляют собой произвольно заданные функции от xv, то достаточно положить (относительно выбранной координатной системы)

^ = Au Фа) =Slf

= A2f ф(2' -

іГ = і48і ф(3) — х3,

^ = Akf <pu, = s4,

чтобы Svi стало равным Avi.

Поэтому для доказательства того, что Aviv будет тензором, если в правую часть равенства (26) подставить вместо A ^jl произвольный ковариантный 4-вектор, достаточно только показать, что это справедливо по отношению к 4-вектору Svl. Но из правой части равенства (26) сразу видно, что достаточно провести доказательство для случая

Правая часть равенства (25), умноженная на г|э, т. е.

уи д2ф Г цу Л дф

^ OxviOxv \ X ) ^ дхх *

имеет тензорный характер. Точно так же

дг]; дф дх\1 ^xV

есть тензор (внешнее произведение двух 4-векторов). Складывая, мы видим, что

?(0-(7}?)

имеет тензорный характер. Тем самым дано, как видно из равенства (26), требуемое доказательство для 4-вектора

^-Pl

и, следовательно, по доказанному выше, для любого 4-вектора Avi. 170 А. Эйнштейн

Пользуясь ковариантной производной 4-вектора, нетрудно дать определение ковариантной производной ковариантного тензора любого ранга; это определение представляет собой обобщение ковариантной производной 4-вектора. Мы ограничимся получением ковариантной производной тензора второго ранга, так как этого достаточно, чтобы составить себе отчетливое представление об этой операции.

Как уже указывалось выше, каждый ковариантный тензор второго ранга может быть представлен х) в виде суммы тензоров типа AviBv. Поэтому вполне достаточно ограничиться выводом формулы ковариантной производной для такого специального тензора. Выражения

дА» _ / aV \ л ItJ

dBv / 0V \ п

^ It J

имеют, в силу (26), тензорный характер. Посредством внешнего умножения первого выражения на Bv и второго на Avi получаем по одному тензору третьего ранга; сумма полученных тензоров

^vg=~~ {}Avv ~~ {0т} А»х (27)

представляет собой тоже тензор третьего ранга, причем мы положили Aviv = AvBv. Так как правая часть равенства (27) линейна и однородна относительно Aviv и его первых производных, то этот закон образования новых тензоров приводит к тензору не только в случае тензора типа AvBv, но и для суммы таких тензоров, т. е. любого ковариантного тензора второго ранга. Назовем Alivo ковариантной производной тензора Aliv. ;•

Ясно, что (26) и (24) являются только специальными случаями ковариантной производной (27) (ковариантными производными тензора первого и нулевого ранга). Вообще говоря, все специальные законы образования новых тензоров могут быть получены на основе соотношения (27) в соединении с умножением тензоров друг на друга.

Посредством внешнего умножения векторов с (любыми) компонентами Alli A121 A13t Au и соответственно с компонентами 1, 0, 0, 0 получается тензор с компонентами

Al ^12 -^13 Аы
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Складывая четыре тензора этого рода, получаем тензор Aliv с любыми наперед заданными компонентами. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 171-

§ 11. некоторые частные случаи, имеющие особое значение

Некоторые леммы о фундаментальном тензоре. Выведем сначала некоторые полезные в дальнейшем вспомогательные соотношения/Согласно правилу дифференцирования определителей, имеем

dg = g»vg dgvLy = - gilvg dgw. (28)

Последнее выражение следует из предшествующего, если принять во внимание, что g^g11^ = 6{J и g^g^ = 4, а, следовательно,

fiiv dgw + gw ^jiv = O.

Из соотношений (28) следует

1 1 Sin 1 dfiiv __ 1

1/11^ ara 2 дх0 2 6 2 0^v

Из равенства

^va=б;

посредством дифференцирования получаем

g[LO dgv0 = gva dg^a,

или (ЗО)

, ^vg - гу* ^ ^a дхь ~ g дхь •

Отсюда в результате смешанного умножения на и соответственно на gvx получаем (изменяя обозначения индексов)
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed