Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 62

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 205 >> Следующая


= 1. (19)

Таким образом, при подобном выборе координатных систем допустимы преобразования координат только с определителем 1.

Но было бы ошибкой думать, что этот прием означает частичный отказ от общего принципа относительности. Мы не спрашиваем: «каковы будут законы природы, ковариантные по отношению ко всем преобразованиям с определителем 1?» Но мы задаем вопрос: ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 165-

«каковы будут общековариантные законы природы?» Лишь после того, как эти законы установлены, мы упрощаем их выражение посредством особого выбора координатной системы.

Образование нових тензоров с помощью фундаментального тензора. Путем внутреннего, внешнего и смешанного умножения какого-нибудь тензора на фундаментальный тензор мы получаем тензоры другого характера и ранга. Примеры:

Alk = ^Aa, A^glivА»\ Особо отметим следующие комбинации:

(«дополнения» к ковариантному и соответственно контравариантно-му тензору) и

Мы называем Bliv редуцированным по отношению Kijjiv тензором. Аналогично имеем

B^ = S^gafiAaK

Заметим, что ^v — не что иное, как «дополнение» по отношению К g^v, ибо

SliaAxP = = g»v.

§ 9. уравнение геодезической (уравнение движения точки)

Так как «линейный элемент» ds является величиной, определенной независимо от координатной системы, то и для линии, проведенной между двумя точками P1 и P2 четырехмерного континуума, величина ^ ds принимает экстремальное значение, незави-симое от выбора координат (геодезическая). Ее уравнение имеет вид

P2

6 { J ds} = 0. (20)

Pi

Отсюда, выполняя вариацию, находят известным образом четыре обыкновенных дифференциальных уравнения, которые и определяют эту геодезическую линию. Ради полноты изложения мы приведем здесь этот вывод. Пусть X — некоторая функция координат xv\ 166 А. Эйнштейн

эта функция определяет семейство поверхностей, пересекающих искомую геодезическую линию, равно как и все другие бесконечно близкие к ней кривые, проведенные через точки P1 и P2. В таком случае каждую из этих кривых можно представить себе заданной своими координатами xv, выраженными через X. Пусть символ б соответствует переходу из какой-нибудь точки искомой геодезической линии в ту точку соседней кривой, которой соответствует то же значение X. В таком случае уравнение (20) можно заменить уравнением

К

•f 8wdX = 0,

І (20а)

2 _ dX[l dxV

w

Так как

A Irl ^iv dxn dxv A . dxV R ( dxv \\

dxv \_ dbxv



то после подстановки этих значений в (20а) и интегрирования по частям получаем

[ dXx0Ьх0 = 0,

К (206)

1 dg?v dxa dxv 2 w дх0 dX dX

__ d ( S1LO dxH 1

w dX J

Отсюда, в силу произвольности выбора ox0, следует, что X0 равно нулю. Таким образом, уравнения

X0 = O (20в)

представляют собой уравнения геодезической линии. Если на рассматриваемой геодезической линии ds Ф 0, то в качестве параметра X можно выбрать «длину дуги» s, измеренную вдоль геодезической линии. Тогда w = 1 и вместо (20в) получаем

dSnv dx0 dx\i dftiv dx[x dxv

^v ds2 + дх0 dX dX 2 дх0 dX dX

или, изменяя обозначения,

d2xa JLtv П dxVi dx.

- о

Saa

Г ^vI ^x = о, (20г)

L О J ds ds ' ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 167-

где, согласно Кристоффелю, мы положили

U J Z \ OXv OXyi OXq /

Наконец, умножив уравнение (20г) на gox (внешнее умножение относительно т и внутреннее — относительно о), получим уравнение геодезической линии в окончательном виде:

I T J ds ds 47

ds2

При этом, согласно Кристоффелю, введено обозначение

{?}-«-[?]• <23)

§ 10. образование тензоров посредством дифференцирования

Используя уравнение геодезической линии, можно теперь легко вывести правила, по которым из тензоров путем дифференцирования могут быть образованы новые тензоры. Эти правила позволяют получить общековариантные дифференциальные уравнения. Мы достигаем этой цели повторным применением следующих простых операций.

Если в нашем континууме дана кривая, точки которой характеризуются длиной дуги 5, отсчитываемой от некоторой определенной точки на кривой, и если, далее, ср—инвариантная функция координат, то и d(p/ds является инвариантом. Доказательство заключается в том, что как dq>, так и ds представляют собой инварианты.

Так как

то и

dtp _ дер

ds дх,,

дер dxH Ib = —1----

т дхи as

*м-

будет инвариантом и притом для всех кривых, которые выходят из одной точки континуума, т. е. для любого вектора dx^. Отсюда следует, что

(24)

М.

есть ковариантный четырехмерный вектор (grad ср). 168 А. Эйнштейн

Согласно нашему правилу, инвариантом будет также и производная, взятая вдоль кривой,

Л ds •

Подставляя значение г|), получаем сначала

д2ф ^v дф feM.

X-

дх^ dxv ds ds дх^

Отсюда пока еще нельзя заключить о существовании какого-либо тензора. Но если мы теперь будем считать, что кривая, вдоль которой мы дифференцировали, является геодезической, то, заменив сPxvZds2t соответствующим выражением из формулы (22), получаем

{д2ф _j Ijlv \ дф \ dH dxv

дху dxv \ т J дх% / ds ds
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed