Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
11 — 0919 162 А. Эйнштейн
зорный характер Aiiv. Это утверждение легко обобщить и на случай ковариантных и контравариантных тензоров любого ранга.
Наконец, из доказанного следует утверждение, которое также можно обобщить на любые тензоры: если величины AiivBv при любом выборе 4-вектора Bv образуют тензор первого ранга, то Aiiv представляет собой тензор второго ранга. В самом деле, если О — произвольный 4-вектор, то, в силу тензорного характера AiivBv, внутреннее произведение AiivCliBv при любом выборе обоих 4-векторов CJi и Bv является скаляром, откуда и следует наше утверждение.
§ 8. некоторые свойства фундаментального тензора ^v
Ковариантный фундаментальный тензор. В инвариантном выражении для квадрата линёйного элемента
ds2 = g?v dx? dxv
величина dx? играет роль произвольного контравариантного вектора. Так как, кроме того, ^iliv = gVii, то на основании сказанного в последнем параграфе заключаем, что ^rlliv есть ковариантный тензор второго ранга. Мы назовем его «фундаментальным тензором». Ниже мы выведем некоторые свойства этого тензора, которыми, правда, обладает каждый тензор второго ранга, но особый физический смысл фундаментального тензора в нашей теории, связанный с гравитационным действием, делает доказанные выше соотношения особенно интересными в приложении к фундаментальному тензору.
Контравариантный фундаментальный тензор. Если взять миноры, соответствующие элементам gpA, в определителе, составленном из ginv, и разделить каждый из них на определитель g = = I g^v I, то получатся некоторые величины ^v ( = gVM0, относительно которых мы докажем, что они составляют контравариантный тензор.
На основании известной теоремы из теории определителей имеем
g»ofr°=K, (16)
где Sji = 1, если (x = v, и o? =0, если [X =T^=V. Вместо приведенного выражения для ds* можно также написать
^lLio^v dxJJ, dxv или, в силу равенства (16),
gnogvxgOX dx^dxv. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 163
Но, согласно правилам умножения, изложенным в предыдущем параграфе, величины
dlo = SW dxp
образуют ковариантный 4-вектор и притом (в силу возможности произвольного выбора dxпроизвольно выбранный 4-вектор. Подставив его в наше выражение, получим
Так как это выражение при любом выборе вектора dl)(5 является скаляром и g0T по определению симметричен по индексам а и т, то на основании результатов предыдущего параграфа заключаем, что gGX представляет собой контравариантный тензор. Из (16) следует еще, что Sm, есть тоже тензор, который можно назвать смешанным фундаментальным тензором.
Определитель фундаментального тензора. Согласно правилу умножения определителей, имеем
\gnagav\= I йш IUavJ-
С другой стороны,
IwavI=^I=I.
Отсюда следует
IfovikuvI=I. (17)
Инвариантный объем. Сначала найдем закон преобразования определителя g = I g^y |. В силу соотношения (И), имеем
g
дх'0 дх'х
&IV
Отсюда после двукратного применения правила умножения определителей следует
ё =
дхп
дх'
Oxv
дхо
I S1IiV I =
дх..
дхо
g,
или
!/F=
дхи
дх'а
Vl
С другой стороны, закон преобразования элемента объема
dx' = I dxf dx2 dx3 dx4 по известной теореме Якоби имеет вид
дха
дх»
dx.
12* 164 А. Эйнштейн
Перемножая два равенства, получаем
VFdTf = Vidt. (18)
В дальнейшем вместо Yg вводится величина V—g» которая вследствие гиперболического характера пространственно-временного континуума всегда имеет вещественное значение. Инвариант V—Sdx равен величине элемента четырехмерного объема, измеренного в «местной координатной системе» посредством твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относительности.
Замечание о характере пространственно-временного континуума. Наша предпосылка о справедливости в бесконечно малом специальной теории относительности приводит к тому, что ds2 всегда можно выразить с помощью (1) через вещественные величины dXx, . . ., dX4. Обозначив через dx0 «естественный» элемент объема dXx dX2 dX3 dX4, получим
dx0 = V — g• dx. (18a)
Если окажется, что в каком-нибудь месте четырехмерного континуума V—S обращается в нуль, то это будет означать, что в этом месте конечному координатному объему соответствует бесконечно малый «естественный» объем. Будем считать, что этого нигде нет. В таком случае g не может менять свой знак; мы примем в соответствии со специальной теорией относительности, что g всегда имеет конечное и отрицательное значение. Это допущение является некоторой гипотезой о физической природе рассматриваемого континуума и в то же время правилом, касающимся выбора системы координат.
Но если —g положительно и конечно, то естественно возникает мысль, что теперь следует выбрать координаты так, чтобы эта величина стала равной 1. Позже мы увидим, что посредством такого ограничения выбора системы координат может быть достигнуто значительное упрощение законов природы. В этом случае вместо равенства (18) имеем
dx' = dx,
откуда, приняв во внимание теорему Якоби, получаем, что
дхо
dx?
