Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 60

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 205 >> Следующая


Aliv = Aviij (14)

или

^hv == ^vjLi» (14а)

Докажем, что определенная таким образом симметрия представляет собой свойство, не зависящее от системы координат» В самом деле, на основании равенств (14) из (9) следует

J^v _ дх'о dxT дха дхх ЛУЦ dxT дха =

дХц dxv dX? dxv Oxil dxv

Предпоследнее из этих равенств основывается на перестановке значков суммирования ц и v (т. е. на простом изменении способа обозначения).

Антисимметричные тензоры. Контравариантный или ковариантный тензор второго, третьего или четвертого ранга называется антисимметричным, если две компоненты, получающиеся друг иа друга путем перестановки каких-нибудь двух значков, равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, тензор A^v (или ^Ipiv) антисимметричен, если

A^=-A** (15)

или

Avlv = ^Ivjj.* (15а)

Йз 16 компонент Aliv четыре компоненты A^ равны нулю; остальные компоненты попарно равны по величине и имеют противоположные знаки, так что имеются только 6 численно различных компонент (6-вектор). Таким же образом можно убедиться в том, что антисимметричный тецзор A^vg (третьего ранга) имеет только четыре численно различные компоненты, антисимметричный тен-? зор A^ivox — только одну. В четырехмерном континууме нет антисимметричных тензоров выше четвертого ранга. 160 А. Эйнштейн

§ 7. умножение тензоров

Внешнее умножение тензоров. Из компонент двух тензоров рангов Z и Zf получаются компоненты тензора ранга z + ъ'» если все компоненты первого тензора попарно перемножить со всеми компонентами второго тензора. Так, например, из различного типа тензоров А ж В получаются тензоры T:

T JLiva = ^JLl V-Bg, ya?yo _ ^a?^YO

Щ = AafiB"0.

Доказательство тензорного характера T следует непосредственно из соотношений (8), (10), (12) или из формул преобразования (9), (И), (13). Равенства (8), (10), (12) сами служат примерами внешнего умножения (тензоров первого ранга).

«Свертывание» смешанного тензора. Из каждого смешанного тензора можно образовать тензор, ранг которого на две единицы меньше, если один значок ковариантного характера приравнять одному значку контравариантного характера и по этому значку произвести суммирование («свертывание»). Таким образом, например, из смешанного тензора четвертого ранга Aal получают смешанный тензор второго ранга:

Al = AT, ( = S>Q,

a

и из него повторным свертыванием получают тензор нулевого ранга:

A = Al = A^.

Доказательство того, что результат свертки действительно обладает тензорным характером, следует из обобщения представления тензоров (12) вместе с соотношением (6) или из обобщения соотношения (13).

Внутреннее и смешанное умножение тензоров. Оно заключается в комбинации внешнего умножения со сверткой.

Примеры. Из ковариантного тензора второго ранга Avlv и контравариантного тензора первого ранга B0 образуем посредством внешнего умножения смешанный тензор

-Djiv = AvlvB ш

В результате свертки по индексам v и 0 возникает ковариантный четырехмерный вектор

Dil = Dvlv = AvlvB . ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 161-

Этот вектор будем называть внутренним произведением тензоров Aikv и B0. Аналогичным образом из тензоров Aiiv и B0x посредством внешнего умножения и двукратной свертки можно образовать внутреннее произведение AikvBlkv. Образовав внешнее произведение из Alkv и Bgx и выполнив свертку, получим смешанный тензор второго ранга Dxil = AikvBvx. Эту операцию удобно назвать смешанной, ибо она является внешней по отношению к значкам (л и т и внутренней по отношению к значкам v и о.

Теперь докажем утверждение, которое часто используется при установлении тензорного характера. На основании только что изложенного AikvBlkv есть скаляр, если Box — тензоры. Но

утверждается также, что если AikvBlkv для произвольного тензора Bliv есть инвариант, то Alkv имеет тензорный характер.

Доказательство. По предположению при любом преобразовании координат должно быть

AqxB = AvlvB^ . Но в результате обращения соотношения (9) имеем

?\kv_ дхц ^ dxv ?QT'

~~ дх'а дх'х

Подставляя это выражение для Bixv в предыдущее соотношение, получаем

(^--g-Sr^v) ^==0.

При любом выборе Bgx' это соотношение может выполняться только тогда, когда выражение в скобках равно нулю, откуда, в силу соотношения (11), и следует наше утверждение.

Эта теорема верна в соответствующей форме для тензоров любого ранга и типа; доказательство всегда проводится аналогичным путем.

Указанное утверждение можно также доказать и в такой форме: если Blk и Cv — произвольные векторы и если при любом их выборе внутреннее произведение

AlivB11Cv

чвляется скаляром, то Aikv есть ковариантный тензор. Последнее положение справедливо еще и в том более частном случае, когда утверждается лишь то, что при любом выборе 4-вектора Bli скалярное произведение AikvBliBv является скаляром, и если, кроме того, еще известно, что Ailv удовлетворяет условию симметрии Aiiv = Aiiv. В самом деле, следуя вышеуказанным путем, сначала доказывают тензорный характер величины (^iliv -f Л ^v), откуда на основании свойства симметрии непосредственно следует тен-
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed