Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. КОНТРАВАРИАНТНЫЙ И КОВАРИАНТНЫЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОР
Контравариантный четырехмерный вектор (4-вектор). Линейный элемент определяется с помощью четырех «компонент» dxVy закон преобразования которых имеет вид
_ Qx'
dx'° = IiH^dx- (5)
V
Величины dx'o выражаются линейно и однородно через dxv; поэтому мы можем рассматривать эти дифференциалы координат как компоненты «тензора», которому дадим специальное название контравариантного 4-вектора. Каждый объект, определяемый по отношению к координатной системе посредством четырех величин Av, которые преобразуются по тому же закону
^=2-?-^. (5а> V
мы также называем контравариантным 4-вектором. Из соотношения (5а) непосредственно следует, что суммы (A0 ± В°) будут компонентами 4-вектора, если Ag и Bg в отдельности являются таковыми. Аналогичное положение возникает для всех систем, вводимых ниже в качестве «тензоров» (правило сложения^ и вычитания тензоров).
Ковариантный четырехмерный вектор. Мы называем четыре величины A v компонентами ковариантного 4-вектора, если для любого произвольно выбранного контравариантного 4-вектора Bv
2 AvBv есть инвариант.
V
(6) ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 157
Из этого определения следует закон преобразования ковариант ного 4-вектора. Заменив в правой части равенства
S А'0В°'= 2 AvBv
а V
величину Bv выражением
G
полученным из равенства (5а), найдем
2 & 2
сг V а
Но отсюда, в силу того, что в этом равенстве каждый из 4-векторов B0' может быть выбран произвольно и независимо от других, следует закон преобразования
^= 2л. (7)
V
Замечание об упрощении записи выражений. Рассматривая уравнения этого параграфа, мы сразу видим, что суммирование всегда производится по тем и только по тем значкам, которые дважды появляются под знаком суммы [например, значок v в правой части равенства (5)]. Поэтому можно без ущерба для ясности отбросить знак суммы. Для этого мы введем следующее правило: если член некоторого выражения содержит какой-нибудь индекс дважды, то по этому значку должно быть произведено суммирование, если только специально не оговорено противное.
Различие между ковариантным и контравариантным 4-вектора-ми заключается в законе преобразования [соотношения (7) и (5)]. Обе величины представляют собой тензоры в том смысле, в каком о них говорилось выше. Следуя Риччи и Леви-Чивите, будем отмечать контравариантный характер, помещая значок вверх, а ковариантный — вниз.
§ 6. ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ РАНГОВ
Контравариантный тензор. Если мы составим все 16 произведений A^iv компонент A^ и Bv двух контравариантных 4-векторов
(8) 158 А. Эйнштейн
то, в силу соотношений (8) и (5а), компоненты Aliv удовлетворяют закону преобразования
^=-^-.-^. (9)
H
Мы называем объект, который по отношению ко всякой координатной системе описывается посредством 16 величин (функций), удовлетворяющих закону преобразования (9), контравариантным тензором второго ранга. Не все тензоры этого рода можно составить по формуле (8) из двух 4-векторов. Но легко доказать, что 16 произвольно заданных компонент A^iv можно представить в виде суммы четырех слагаемых типа AliBv1 составленных из компонент четырех пар надлежащим образом выбранных четырехмерных векторов. Поэтому почти все положения, справедливые для тензора второго ранга, определенного соотношением (9), можно проверить, доказывая их для специальных тензоров типа (8).
Контравариантный тензор любого ранга. Очевидно, что по аналогии с (8) и (9) можно определить также контравариантные тензоры третьего и высших рангов с 43 и т. д. компонентами. Из соотношений (8) и (9) вытекает также, что в этом смысле можно рассматривать контравариантный 4-вектор как контравариантный тензор первого ранга.
Ковариантный тензор. Если, с другой стороны, составить 16 произведений A ^v из компонент двух ковариантных 4-векторов и Bv
Avlv = AvlBv, (10)
то для них справедлив закон преобразования
^-?-?-^- (ii>
Этим законом преобразования дается определение ковариант-ного тензора второго ранга. Все замечания, которые прежде были сделаны по поводу контравариантных тензоров, остаются в силе и для ковариантных тензоров.
Замечание. Скаляр (инвариант) удобно рассматривать как контравариантный или как ковариантный тензор нулевого ранга.
Смешанный тензор. Можно также составить тензор второго ранга типа
Al = AilBv, (12)
который ковариантен относительно индекса и контравариантен относительно индекса v. Его закон преобразования имеет вид
дх' QXcl о
Al=^-Ut-Al (13) ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 159-
Имеются, конечно, смешанные тензоры с произвольным числом индексов ковариантного и произвольным числом индексов контравариантного характера. Ковариантный и контравариантный тензоры можно рассматривать как частные случаи смешанного тензора.
Симметричные тензоры. Контравариантный (или ковариантный) тензор второго или высшего ранга называется симметричнымг если две компоненты, получающиеся друг из друга путем перестановки каких-нибудь двух значков, равны между собою. Тензор A ^xv (или A ^v) симметричен, если для любой комбинации значков, имеем
