Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
* Здесь с незначительными исправлениями перепечатывается частично одна глава из книги Э. Маха «Познание и заблуждение» (перевод второго немецкого издания под редакцией Н. Ланге), издание С. Скирмунта, M., 1909 г., стр. 389—420. Эта глава была впервые напечатана в журнале «The Monist», Vol. XIV, 1903.
1J См. мемуар Римана, помещенный в настоящий сборник, стр. 18.— Прим. ред.
2) Письмо Гаусса Бесселю от 27 января 1829 г.
3) Письмо Гаусса Бесселю от 9 апреля 1830 г. Выражение «число есть продукт или творение ума» с тех пор неоднократно употреблялось матема- 74 Э. Max
4. Каждый исследователь испытал, что познанию объекта, подлежащего исследованию, существенно помогает сравнение его с объектом родственным. Естественно, что и Риман ищет вещи, представляющие аналогию с пространством. Геометрическое пространство он рассматривает как непрерывное многообразие трех измерений, элементами которого надо считать точки, определяемые тремя координатами. Он находит, «что места чувственных предметов и цвета суть, пожалуй, единственные понятия (?), определения которых образуют многообразие многих измерений». К этой аналогии другие ученые прибавили еще новые и развили их далее, но, по моему мнению, не всегда с успехом
10. Нетрудно подняться до римановского представления непрерывного многообразия п измерений, и удается даже части такого многообразия реализовать и сделать наглядными. Пусть aSi • • an+i СУТЬ какие-нибудь элементы (ощущаемые качества, вещества и т. д.). Если представить себе эти элементы соединенными во всех возможных отношениях, то каждое отдельное такое соединение может быть представлено следующим выражением:
а хаг -f- + аз#з + • • • + &п+іап+и
причем коэффициенты а удовлетворяют уравнению
CX1 + а2 + а3 + ... + а>п+1 = 1-
Так как п коэффициентов а можно выбрать произвольно, то совокупность соединений из п + 1 элементов представляет собой непрерывное многообразие п измерений 2). В качестве координат какой-нибудь точки, элемента, этого многообразия можно рассматривать выражения формы ат/а', или F (ат!а ), например, log (aw/a'). Но при выборе определения расстояния или других понятий, аналогичных геометрическим, пришлось бы поступать
тиками. Но беспристрастное психологическое» наблюдение учит нас, что образованию понятия числа в такой же мере кладет начало опыт, сак образованию геометрических понятий. По меньшей мере прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно. И числовой эксперимент играет выдающуюся роль в развитии арифметики.
1J Если устанавливают аналогию между высотой, интенсивностью и тембром звука, между цветом, насыщенностью и силой света, с одной стороны, и тремя измерениями пространства — с другой, то такие аналогии удовлетворят немногих. Тембр звука, как и цвет, зависит от многих переменных. Поэтому, если эта аналогия имеет вообще какой-нибудь смысл, то тембру и цвету должны соответствовать многие измерения. Ср. Benno Erdmann, Die Axiome der Geometrie, Leipzig, 1877.
2) Если бы шесть основных цветовых ощущений были совершенно независимы друг от друга, то система цветовых ощущений представляла бы собой многообразие пяти измерений, но так как они образуют три пары противоположных цветов, то эта система соответствует многообразию трех измерений. ПОЗНАНИЕ И ЗАБЛУЖДЕНИЕ 75
весьма произвольно, если бы опыт о соответственном многообразии не учил нас, что известные метрические понятия имеют реальное значение и поэтому должны быть предпочитаемы. Так обстоит, например, дело в геометрическом пространстве с вытекающим из постоянства объема тел определением элемента расстояния ds2 = dx2 + dy2 + dz2, а в звуковых ощущениях — с упомянутым уже выше логарифмическим выражением. В большинстве случаев подобных искусственных построений отсутствуют такие опорные пункты, и все исследование оказывается поэтому бесплодным. Аналогия с пространством теряет вследствие этого в полноте, плодотворности и полезности.
11. Риман развил Гаусса еще и в другом направлении, исходя из исследования относительно кривых поверхностей. Меру кривизны данной поверхности в данной точке Гаусс выразил через К = da Ids, где ds обозначает элемент исследуемой поверхности, а da — элемент поверхности сферы, принятой за 1, предельные радиусы которого параллельны предельным нормалям элемента ds. Эта мера кривизны может также быть выражена в форме К = -= l/pip27 где P1, р2 обозначают главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кривизны которых имеет во всех точках одно и то же значение, поверхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибаемые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара. При этой деформации и даже при любом сгибании измерительные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхности, остаются без изменения, если только при измерении не выходить из двух измерений поверхности. Мера кривизны поверхности вовсе не зависит от формы последней в третьем измерении пространства, а только от ее внутренних измерительных отношений. Отсюда Риман пришел к мысли распространить понятие меры кривизны на пространство трех и больше измерений. В соответствии с этим он допускает возможность конечных беспредельных пространств с постоянной положительной мерой кривизны, соответственно беспредельной, но конечной шаровой поверхности двух измерений, между тем как, по нашему обычному представлению, бесконечное пространство соответствует бесконечной плоскости с мерой кривизны, равной нулю; наконец, третий род пространства соответствовал бы поверхностям с отрицательной мерой кривизны. Фигура, начерченная на поверхности некоторой постоянной кривизны, может быть перемещена без искажения
