Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dM = dA + QdJ 4-Ф dQ. (3.1)
где Q и Ф — угловая частота и электростатический потенциал черной дыры [13]. Отношение потоков энергии, момента импульса и заряда в волновом пакете будет равно оз : т : е. Таково же будет отношение и изменений массы, момента импульса и заряда черной дыры. Следовательно,
dM (1 - Qmor1 - еФог *) = Ji." dA. (3.2)
Волновой пакет классического поля бозонов будет удовлетворять слабому энергетическому условию неотрицательности локальной плотности энергии с точки зрения любого наблюдателя. Отсюда следует [7, 12], что изменение площади dA, обусловленное волновым пакетом, будет неотрицательно. Поэтому, если
со < mQ + еФ, (3.3) 500 С. Хокинг
изменение массы черной дыры dM должно быть в сторону уменьшения. Иными словами, черная дыра будет отдавать энергию волновому пакету, который в результате рассеивается с той же частотой, но с большей амплитудой. Такое явление называется «сверхизлучением».
В случае классических полей с полуцелым спином подробные выкладки [28] показывают отсутствие сверхизлучения. Это обусловлено тем, что скалярное произведение для полей с полуцелым спином является положительно определенным в отличие от случая полей с целым спином. Это значит, что поток вероятности через горизонт событий положителен, а, в силу закона сохранения вероятности, поток вероятности для рассеянного волнового пакета должен быть меньше, чем он был в падающей волне. Рассуждения, основывавшиеся выше на первом законе, неверны потому, что для тензора энергии-импульса классического поля с полуцелым спином не выполняется слабое энергетическое условие. На квантовом же уровне (на уровне теории элементарных частиц) отсутствие сверхизлучения для фермионных полей можно объяснить тем, что принцип исключения Паули не допускает наличия более чем одной частицы в каждой моде расходящегося волнового пакета, а потому и не допускает, чтобы рассеянный волновой пакет стал мощнее падающего.
Переходя к квантовой теории, рассмотрим сначала случай незаряженной вращающейся черной дыры. Как и раньше, можно выбрать произвольную систему координат Бонди на J" и разлагать оператор ф по системе падающих решений {/©im}, где индексы со, Z, т относятся к опережающему времени и угловой зависимости / на J" в выбранной'системе координат. Конечным квазистационарным состоянием черной дыры на J+ определяется привилегированная система координат Бонди, пользуясь которой можно найти систему расходящихся решений {рсо/т}. В этом случае индекс Z характеризует сферические гармоники, с помощью которых переменные разделяются в этом волновом уравнении. При вычислении асимптотического вида р®іт на поступают, как и прежде. Единственное различие состоит в том, что, так как горизонт вращается относительно J+ с угловой скоростью Q, эффективная частота вблизи образующей горизонта событий равна не со, а со — rriQ. Это означает, что число частиц, испускаемых в моде PjnIm волнового пакета, равно
{ехр [2шт1 (со - mQ)] =F I}"1 Tj7llm. (3.4)
ЕГрезультате этого интенсивность излучения частиц с положительным моментом импульса т будет выше, чем для частиц с той же частотой (о и квантовым числом Z, но с отрицательным моментом импульса —т. Таким образом, при испускании частиц уносится момент импульса. В случае бозонных полей множитель в фигур- РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 501*
ных скобках в (3.4) отрицателен, если со < mQ. Но та доля TjnIm волнового пакета, которая поглощается черной дырой, в этом случае также будет отрицательна, ибо неравенство со < mQ есть условие сверхизлучения. В пределе очень низких температур х/2я испускание частиц происходит лишь в количестве zFTjnIm в модах, для которых со < mQ. Такая интенсивность рождения частиц совпадает с тем, что получили Старобинский [16] и Унру [29], рассматривавшие только конечное стационарное решение Keppa и пренебрегавшие стадией коллапса.
Заряженную невращающуюся черную дыру можно рассматривать подобным же образом. Электромагнитное и гравитационное поля, не несущие электрического заряда, ведут себя здесь так же, как и раньше, за исключением того, что наличие у черной дыры заряда приводит к уменьшению поверхностной силы тяжести х, а значит, и температуры черной дыры. Рассмотрим здесь простой случай безмассового заряженного скалярного поля ф, удовлетворяющего волновому уравнению с минимальным взаимодействием
gab (Va - IeAa) (Vb - іеАь) Ф = 0. (3.5)
Фаза решения р^ волнового уравнения (3.5) не является калибро-вочно-инвариантной, но волновой вектор ika = Va (In Ad) — іеАа инвариантен. В приближении геометрической оптики или ВКБ вектор ка изотропен и подчиняется уравнению
ка.ъкь=-еРаЬкь. (3.6)
Бесконечно малый вектор za будет соединять между собой точки, отвечающие «калибровочно-инвариантной» разности фаз ikaza. Если za распространяется вдоль огибающих вектора ка в соответствии с уравнением
za.bkb=-eFabz\ (3.7)
то вектор Za будет соединять поверхности, калибровочно-инвариант-ная разность фаз между которыми постоянна.
В окончательной стационарной области можно выбрать такую калибровку, что электромагнитный потенциал Aa будет там стационарен, а на J+ обратится в нуль. В такой калибровке переменные в уравнении поля (3.5) будут разделяться, и мы получим решения Роу с зависимостью от запаздывающего времени вида еШи. Пусть X — точка на горизонте событий в окончательной стационарной области, а Iа и па — два изотропных вектора в этой точке. Как и прежде, вектор —гпа будет соединять горизонт событий с поверхностью действительной фазы — (со/х) (In є — In С) решения р Калибровочно-инвариантная фаза будет, однако, равна — X"1 (со — еФ) (In є — In С), где Ф = Ka Aa- значение электро- 502 С. Хокинг
