Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что наши выводы о тепловом излучении не зависят от предположения о сферической симметрии. Рассмотрим асимметричный коллапс, результатом которого будет черная дыра, стремящаяся к невращающемуся и незаряженному решению Шварцшильда (момент импульса и заряд будут рассмотрены в следующем разделе). То обстоятельство, что конечное состояние является асимптотически квазистационарным, означает, что существует привилегированная система координат Бонди [25] на J+, относительно которой данные Коши для расходящихся состояний можно разложить на положительно-частотные сферические гармоники. На J" привилегированная система координат может существовать или не существовать, но если ее^нет, то можно выбрать произвольную систему координат Бонди и аналогичным способом разложить данные Коши для ,входящих состояний. Рассмотрим теперь одно из состояний Paim на J+, распространяющееся вспять в этом пространстве-времени до коллапсирующего тела, а затем снова вовне на J~. Возьмем изотропную геодезическую образующую у горизонта событий и проведем ее назад за конечную точку горизонта прошлого до пересечения с J~ в точке у на изотропной геодезической образующей*^ поверхности J". Выберем пару изотропных векторов (Iа, па) в точке г/, где вектор Iа касательный к кривой у, а вектор па — к Перенесем векторы Iа и па параллельно вдоль кривой у до точки х в той области пространства-времени, где метрика уже является почти окончательным решением Шварцшильда. В точке х вектор па будет некоторой линейной комбинацией вектора Iа и радиального изотропного вектора па, направленного внутрь. Это означает, что вектор —гпа будет связывать точку х с поверхностью фазы —(со/х) (In є — In 2?) решения Pioim, где E — некоторая постоянная. Как и прежде, согласно приближению геометрической оптики, вектор —- гпа в точке у будет связывать эту последнюю с поверхностью фазы 498 С. Хокинг
—(со/х) (In є — Iii Е) решения рыт, проникающего в коллапсирующее тело. Поэтому на изотропной геодезической образующей X поверхности J" фаза ра}т будет равна
[In (v0 -V) -In Я], (2.30)
где V — аффинный параметр на X, равный V0 в точке г/, a H — постоянная. Согласно приближению геометрической оптики, величина palm па X равна
L ехр I — Щ- [In (v0 — V) —In Я]} , (2.31)
когда разность V0 — v мала и положительна, и равна нулю, когда V >> V0, причем L — постоянная. На любой изотропной образующей поверхности J" решение Palm буДЄТ ИМвТЬ ВИД (2.31) с соответствующими значениями L, V0 и H. Отсутствие сферической симметрии в период коллапса повлечет на J' появление в решении paim компонент сферических гармоник с индексами (Z', т'), отличными от (Z, т). Это значит, что теперь решение Palm следует представлять в виде
OO
Ptolm= У\ \ {a©ImcD'Z'm'/cD'l т' + ? со ZmcoTm' /со'Гсо'} ^CO'. (2.32)
- щ)
I'm' 0
Соответственно форме выражения (2.31) коэффициенты а(2) и ?(2) будут зависеть от ш' так же, как это было в выражениях (2.19) и (2.20). Поэтому мы снова получим такое же соотношение, как (2.21):
I aSmo'Z'm' I = ехр (jXGЖ"1) | ?^co'Z'm' | • (2.33)
Как и раньше, для каждой пары индексов (Z, т) можно построить волновые пакеты PjnIm. Число частиц, испускаемых в каждой такой моде волнового пакета, равно
OO
2 J IPinWCm (2.34)
Vm' О
Аналогично доля TjnIm волнового пакета, проникающая внутрь коллапсирующего тела, равна
OO
Tjnlm= 2 J (I <lm<»>l«»>\2- I ?JumcD'l'm' I (2.35)
Vmf О
Здесь, как и прежде, величина TjnIm равна той части аналогичного волнового пакета, приходящего с J", которая была бы поглощена черной дырой. Итак, пользуясь соотношением (2.33), находим, РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 499*
что излучение обладает свойствами излучения тела с температурой х/2п: при больших значениях запаздывающего времени излучение зависит только от конечного квазистационарного состояния черной дыры, а не от хода гравитационного коллапса.
3. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАРЯД
Если коллапсирующее тело вращается или обладает электрическим зарядом, то возникающая черная дыра стремится к стационарному состоянию, описываемому уже не решением Шварцшильда, а решением Keppa с зарядом, которое характеризуется массой ikf, моментом импульса J и зарядом Q. Поскольку такие решения стационарны и аксиально-симметричны, можно представить решения волновых уравнений в виде произведений с множителем еі(ди или ei0)v на функцию координат г и 0. В случае скалярного волнового уравнения последнюю функцию можно представить в виде произведения функции координаты г на функцию координаты 0 [26]. Можно также полностью разделить переменные для любого волнового уравнения в случае отсутствия вращения и заряда, а Тьюкольскому [27] удалось полностью разделить переменные для волновых уравнений поля нейтрино, электромагнитного и линеаризованного гравитационного полей при наличии вращения, но в отсутствие заряда.
Рассмотрим волновой пакет для классического поля с зарядом е, частотой о и аксиальным квантовым числом т, падающий из бесконечности на керровскую черную дыру. Изменение массы черной дыры dM, обусловленное частичным поглощением волнового пакета, будет связано с изменением площади, момента импульса и заряда классическим первым законом термодинамики для черных дыр:
