Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 140

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 205 >> Следующая


ПРИЛОЖЕНИЕ V

Рассмотрим коллапс сферической пылевой массы. Введем в пыли сопутствующую систему. Продолжим эту свободно падающую систему за границу пыли, воспользовавшись известным решением Толмена (см. [4]). Для конкретности будем считать, что точка на границе пыли падает с параболической скоростью, а плотность вещества внутри пыли однородна1). Метрика внутри пыли есть метрика космологической модели Фридмана (см. [4]) с давлением, равным нулю, а метрика вне пыли есть метрика Леметра [14] с dsа в виде

ds2 = dr2 -I3Z2 (Г — T + То) ]"2/3 dr2 —

_ [3/2 (Г-T + Т0)]4/3 (dB2 + sin2 Є йф2). (V.1)

Если коллапс начался вдали от Rgl то вблизи Rg скорость границы всегда почти параболическая. Не представляет никакого труда обобщить доказательство на случай движения границы пыли с эллиптической или гиперболической скоростью и с градиентом плотности пыли по радиусу. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 409*

Здесь т — собственное время, T0 — константа, зависящая от начала отсчета времени, г — сопутствующая координата, с = 1, Rg = = 1.

Пространство-время этой модели изображено на рисунке-Пунктиры — линии R = const, где R = [3I2 (г — т + т0)]2/з — шварцшильдовская координата х).

Пусть в момент т = 0 (близкий к моменту T1, когда граница; пыли пересекает поверхность Шварцшильда R = Rg) возмущения? ПЛОТНОСТИ, скорости вещества И метрики ha при всех 0 < Г < OO малы. Далее, пусть на сколь угодно большом R = const возмущения всегда будут малы (последнее очевидно). Тогда, во-первыхг будут в рассматриваемой системе всегда малы при

R = [3I2 (г- т + т0)]2/з > A9

т. е. правее и ниже пунктира R = A на рисунке; здесь А — некоторая константа А <С Rg. И кроме того, луч света, покинувший пыль после момента T1, никогда не выйдет за пределы поверхности Шварцшильда R = Rg (см. рисунок).

Докажем первое утверждение. Из (V.1) видно, что в вакууме-компоненты ga? зависят только от /

R = [3U (г - T + т0)]2/з.

Поэтому если мы теперь в качестве независимых переменных будем; рассматривать не г и т, a R и т, то малые возмущения метрики в вакууме могут быть записаны^ в виде h = еій)Т/ (R) (индексы а, ? в дальнейшем опускаем). Функция / (R) зависит от 0 и ср, но эта зависимость сейчас не существенна, и мы ее не рассматриваем^ Идея доказательства состоит в том, что из малости возмущений на линиях (см. рисунок) D — T1 — г2 и далее по R = С и из вида h следует, что h мало везде внутри полосы, ограниченной R=Ar R = С и D — T1 — г2.

Приводим формальное доказательство. Граница пыли пересекает Rg при конечной плотности рс » 2-Ю16 (MqIM)Решение уравнений малых возмущений внутри пыли [13] показывает, что h неограниченно возрастает только при р-> оо, а при р = рс конечно. Таким образом, вплоть до момента T2 (еще далекого* от т3, когда р = оо) в пыли при г < T1 будет h < E1.

В свободно падающей системе в вакууме есть решения, неограниченно нарастающие на R = Rg. Однако корректная постановка' задачи Коши исключает эти решения, и вблизи поверхности шара в вакууме h мало вплоть до т= т2. Таким образом, мы имеем* в вакууме:

В Г-области (т. е. при R < Rg) R не может быть пространственной координатой, см. [6]. 410 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

1) из начальных условий: h = / (і?) < є2 при т = 0, г > г1?

2) из малости возмущений на границе пыли: є3 при О < т < T2 и г = T1.

Из 1) следует, что / (Д) < B2 при R > В = [3I2 (гг + т0)]2/з {см. рисунок).

Из 2) следует, что / (R) < е4, где є4 = є3/| ei(OT |max при О < т < T2 и А < R < Д (см. рисунок). Итак, всегда

/ (Д) < е5 при R > А, е5 = шах (є2, е4). (V.2)

'Теперь по условию Ifi < єб при достаточно большом Д =: const = С и любом т > 0:

jlr=c = е1«Ч(В)< 86, т>0.

'Таким образом,

^<86//(Д) = 87, т>0. (V.3)

Из (V.2) и (V.3) следует

h = e^f (R) < є5є7 = є8, R>A, т > 0.

Первое утверждение доказано.

Докажем теперь второе утверждение. В невозмущенной метрике (V.1) для любого луча света (не обязательно идущего по радиусу) в Г-области, при Д < Rg — F, где F — произвольная константа меньше Rg, справедливы неравенства х):

dxldr > (-goo'gn)1/2 > 1 -N,

где N = const. Это неравенство означает, что наклон луча на конечную величину больше, чем наклон линии R = Rg (см. рисунок). Мы выше доказали, что всегда при Д > А возмущения метрики остаются малыми. Ясно, что эти возмущения мало меняют величину dxldr луча и неравенство

dx/dr > 1 — N

сохраняется. Таким образом, луч в области А < Д < Rg никогда не приближается к R = Rg и, тем более, не может ее пересечь. •Следовательно, мы доказали, что в возмущенном коллапсе луч никогда не выходит из T-области.

Мы рассматриваем луч, для которого dr/dx > 0. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 411*

ПРИЛОЖЕНИЕ VI

Аксиально-симметричные статические квадрупольные возмущения метрики Шварцшильда при g00 0 записываются в виде (с = 1):

где q — квадрупольный параметр возмущения.

При коллапсе тела сд^Ов сопутствующей системе все величины Jiliv конечны. Поскольку Ji22 и Ji33 не преобразуются при переходе от сопутствующей системы к шварцшильдовской, то очевидно, что при R Rg
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed