Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЛОЖЕНИЕ V
Рассмотрим коллапс сферической пылевой массы. Введем в пыли сопутствующую систему. Продолжим эту свободно падающую систему за границу пыли, воспользовавшись известным решением Толмена (см. [4]). Для конкретности будем считать, что точка на границе пыли падает с параболической скоростью, а плотность вещества внутри пыли однородна1). Метрика внутри пыли есть метрика космологической модели Фридмана (см. [4]) с давлением, равным нулю, а метрика вне пыли есть метрика Леметра [14] с dsа в виде
ds2 = dr2 -I3Z2 (Г — T + То) ]"2/3 dr2 —
_ [3/2 (Г-T + Т0)]4/3 (dB2 + sin2 Є йф2). (V.1)
Если коллапс начался вдали от Rgl то вблизи Rg скорость границы всегда почти параболическая. Не представляет никакого труда обобщить доказательство на случай движения границы пыли с эллиптической или гиперболической скоростью и с градиентом плотности пыли по радиусу. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 409*
Здесь т — собственное время, T0 — константа, зависящая от начала отсчета времени, г — сопутствующая координата, с = 1, Rg = = 1.
Пространство-время этой модели изображено на рисунке-Пунктиры — линии R = const, где R = [3I2 (г — т + т0)]2/з — шварцшильдовская координата х).
Пусть в момент т = 0 (близкий к моменту T1, когда граница; пыли пересекает поверхность Шварцшильда R = Rg) возмущения? ПЛОТНОСТИ, скорости вещества И метрики ha при всех 0 < Г < OO малы. Далее, пусть на сколь угодно большом R = const возмущения всегда будут малы (последнее очевидно). Тогда, во-первыхг будут в рассматриваемой системе всегда малы при
R = [3I2 (г- т + т0)]2/з > A9
т. е. правее и ниже пунктира R = A на рисунке; здесь А — некоторая константа А <С Rg. И кроме того, луч света, покинувший пыль после момента T1, никогда не выйдет за пределы поверхности Шварцшильда R = Rg (см. рисунок).
Докажем первое утверждение. Из (V.1) видно, что в вакууме-компоненты ga? зависят только от /
R = [3U (г - T + т0)]2/з.
Поэтому если мы теперь в качестве независимых переменных будем; рассматривать не г и т, a R и т, то малые возмущения метрики в вакууме могут быть записаны^ в виде h = еій)Т/ (R) (индексы а, ? в дальнейшем опускаем). Функция / (R) зависит от 0 и ср, но эта зависимость сейчас не существенна, и мы ее не рассматриваем^ Идея доказательства состоит в том, что из малости возмущений на линиях (см. рисунок) D — T1 — г2 и далее по R = С и из вида h следует, что h мало везде внутри полосы, ограниченной R=Ar R = С и D — T1 — г2.
Приводим формальное доказательство. Граница пыли пересекает Rg при конечной плотности рс » 2-Ю16 (MqIM)Решение уравнений малых возмущений внутри пыли [13] показывает, что h неограниченно возрастает только при р-> оо, а при р = рс конечно. Таким образом, вплоть до момента T2 (еще далекого* от т3, когда р = оо) в пыли при г < T1 будет h < E1.
В свободно падающей системе в вакууме есть решения, неограниченно нарастающие на R = Rg. Однако корректная постановка' задачи Коши исключает эти решения, и вблизи поверхности шара в вакууме h мало вплоть до т= т2. Таким образом, мы имеем* в вакууме:
В Г-области (т. е. при R < Rg) R не может быть пространственной координатой, см. [6]. 410 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков
1) из начальных условий: h = / (і?) < є2 при т = 0, г > г1?
2) из малости возмущений на границе пыли: є3 при О < т < T2 и г = T1.
Из 1) следует, что / (Д) < B2 при R > В = [3I2 (гг + т0)]2/з {см. рисунок).
Из 2) следует, что / (R) < е4, где є4 = є3/| ei(OT |max при О < т < T2 и А < R < Д (см. рисунок). Итак, всегда
/ (Д) < е5 при R > А, е5 = шах (є2, е4). (V.2)
'Теперь по условию Ifi < єб при достаточно большом Д =: const = С и любом т > 0:
jlr=c = е1«Ч(В)< 86, т>0.
'Таким образом,
^<86//(Д) = 87, т>0. (V.3)
Из (V.2) и (V.3) следует
h = e^f (R) < є5є7 = є8, R>A, т > 0.
Первое утверждение доказано.
Докажем теперь второе утверждение. В невозмущенной метрике (V.1) для любого луча света (не обязательно идущего по радиусу) в Г-области, при Д < Rg — F, где F — произвольная константа меньше Rg, справедливы неравенства х):
dxldr > (-goo'gn)1/2 > 1 -N,
где N = const. Это неравенство означает, что наклон луча на конечную величину больше, чем наклон линии R = Rg (см. рисунок). Мы выше доказали, что всегда при Д > А возмущения метрики остаются малыми. Ясно, что эти возмущения мало меняют величину dxldr луча и неравенство
dx/dr > 1 — N
сохраняется. Таким образом, луч в области А < Д < Rg никогда не приближается к R = Rg и, тем более, не может ее пересечь. •Следовательно, мы доказали, что в возмущенном коллапсе луч никогда не выходит из T-области.
Мы рассматриваем луч, для которого dr/dx > 0. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 411*
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Аксиально-симметричные статические квадрупольные возмущения метрики Шварцшильда при g00 0 записываются в виде (с = 1):
где q — квадрупольный параметр возмущения.
При коллапсе тела сд^Ов сопутствующей системе все величины Jiliv конечны. Поскольку Ji22 и Ji33 не преобразуются при переходе от сопутствующей системы к шварцшильдовской, то очевидно, что при R Rg
