Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
J_ JLn-^Lд-U2L = о ду =оГ7 d^ \2 I d^
р dp ^ dp ^r dz* ' dp ^ l\ dp ) \ dz ) J'
4f=2p-?-3-- C1-1'
Координаты p, z связаны с координатами X, \i приложения I выражениями
p = m [(I2 - 1) (1 - |a*)]V«, z = mX\i.
Для источника вида 3) о = о (z) o (р) = 0 решение (Н.1), очевидно, есть потенциал нити с линейной ПЛОТНОСТЬЮ O = G (jz) в плоском пространстве. Вблизи g00 = О г|) и у записываются следующим образом 3):
г|) = о (z) In р, Y = о2 (z) In р, где o (z) произвольна. Выражение для метрики имеет вид ds2 = p2G dt2 — р2о<а-(dp2 + dz2) — p2(i-
1J Исключение составляет только случай q > 0, Ji2=I.
2) Источник только такого вида на конечных расстояниях от особой поверхности дает малые отклонения от сферического решения.
3) Исключение представляет вырожденный случай «точечной особенности»
(см. [И], стр. 269, формула (8.30)). 406 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков
Свойства этой метрики аналогичны разобранным в приложении I. В частности, от точки с координатами р0, z0, ср0, двигаясь ВДОЛЬ ЛИНИИ Z = Z0, Ф = Фо со скоростью, достаточно близкой к световой, можно за время
t = p№o)-W[o(z0) — lr2 по часам внешнего наблюдателя добраться до g00 = 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Рассмотрим поле вращающегося шара в вакууме. Состояние шара не обязано быть статическим — он может радиально расширяться или сжиматься. Из соображений симметрии ясно, что при слабом вращении из возмущений Jiviv компонент шварцшиль-ДОВСКОГО решения В первом порядке будут ТОЛЬКО Jl0з, Zi13 и Ji23 (возмущения в диагональных компонентах второго порядка малости). С помощью малого преобразования координат всегда можно обратить одну из этих величин в нуль: при преобразовании ф = ф + J компоненты Ji0з, Ji13 и Ji23 получают приращения
Ah^ = dl'dt> Ah* = d%/dRi Ahl = dl,dQ-Обратим в нуль Ji23. Выпишем нетривиальные компоненты:
«о ___дід Z1 ^h03__д g00h13 \ ft
0^23— QQ у Qt sin20 dR 8щ2 0-;
1 / . Л д . .1л ЗА.
ofl 18 = - -^r (Sin Є -gg- Sin-I е -?*- + 2A18 ) +
I0. дЧлз P2 д2 h03 0
дг2 611 dRdt і?2
«d _ „ 2 , dgQQ sine д . і й dh03
Oit03--^00-^2 -R-n°3~dR---A2 W
+ ^00^(^ + 4-^)-0. (III.l)
Для нахождения стационарного решения положим dhjdt = dhjdt = 0. Тогда решение (Ш.1) имеет вид
h13 = ф (R) RZ Sin2 Є, h03 = - J- 2 а»/» ( -щ-) П (cos Є) sin 0. (I1I.2) ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 407*
Здесь с = 1, G= 1, г|) (і?) произвольна, Л ^ = 2/n, an = const, fn(x) = X3Un(X) j х?\{х) ' = 1—и; 4; ж),
F — гипергеометрическая функция Гаусса (см. [12]); Р\ — первый присоединенный полином Лежандра (см. [12]). Асимптотически
In(X)-X1-", х>1.
Сделав теперь малое преобразование ср = ф — г|) (R), получаем Zi13 = 0, и единственной отличной от нуля компонентой остается Ji03, для которой справедливо (III.2). Это и есть то поле, на которое может асимптотически выходить при t оо (Riiob Rg) поле сжимающегося вращающегося шара.
Конкретный вид поля в вакууме определяется условиями сшивки на поверхности тела с внутренним решением. Условия сшивки, следующие из требований выполнимости уравнений поля на границе,- требуют, чтобы Ji03 была везде непрерывна. Для шара с твердотельным законом вращения (но не обязательно стационарного — он может радиально деформироваться) это условие приводит к тому, что в вакууме Ji03 ~ sin^ 0 и Ji13 ~ sin^ 0. Первое уравнение (II 1.1) тогда выполнено тождественно, а решение двух других совместно с граничным условием при помощи малого преобразования координат приводится к виду
^оз = — sin2 6 -jf-, (ИІ.З)
где M = —am — полный момент.
Таким образом, внешнее поле такого сжимающегося шара постоянно (в линейных по а членах). Выражение (III.3) совпадает по форме с приведенным в [4] для слабого поля. В действительности оно справедливо и в сильном поле при а Rg (с точностью до первого порядка по а).
Интересно отметить, что в то время как магнитный момент коллапсирующей магнитной звезды затухает [13], поле механического момента сохраняется. Это различие объясняется следующим образом. Магнитный момент связан с током I, который при приближении скорости коллапса к с (Ruов ->- Rg) стремится к нулю для шварцшильдовского наблюдателя. Механический же момент сохраняется неизменным, ибо хотя скорость вращения звезды v в системе Шварцшильда при Дпов Rg затухает подобно I, масса элемента объема для локального шварцшильдовского наблюдателя растет с ростом скорости коллапса. В итоге момент M ~ ~ mvR остается неизменным. 408 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Решение уравнений Эйнштейна в вакууме для сферической массы т во внешнем квадрупольном поле (нарастающем с удалением от массы т) имеет вид (обозначения те же, что в приложении I):
^=Tln ттг+х^3^2-1) (^2-D'
у = T ln Ij=F ~ 3qX (1 ~ ^ _
—Q2 -1) (:1 - fi2) [ 9уЖ -X*-H* +1 ].
Поверхность g00 = 0 определяется условием Я, = 1. Гауссова кривизна этой двумерной поверхности
rG--^r еЦ1+3q-l2gji«-9gVа + Wl
различна при разных \i и везде конечна. Постоянное внешнее квадрупольное поле может быть создано удаленными массами, закрепленными на подпорках, которые удерживают их от перемещений. Приближенно на ограниченном интервале времени это же поле может быть создано и незакрепленными удаленными массами, скорости движения которых под влиянием взаимного тяготения будут вначале малы и поле почти статично.
