Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 139

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 205 >> Следующая


J_ JLn-^Lд-U2L = о ду =оГ7 d^ \2 I d^

р dp ^ dp ^r dz* ' dp ^ l\ dp ) \ dz ) J'

4f=2p-?-3-- C1-1'

Координаты p, z связаны с координатами X, \i приложения I выражениями

p = m [(I2 - 1) (1 - |a*)]V«, z = mX\i.

Для источника вида 3) о = о (z) o (р) = 0 решение (Н.1), очевидно, есть потенциал нити с линейной ПЛОТНОСТЬЮ O = G (jz) в плоском пространстве. Вблизи g00 = О г|) и у записываются следующим образом 3):

г|) = о (z) In р, Y = о2 (z) In р, где o (z) произвольна. Выражение для метрики имеет вид ds2 = p2G dt2 — р2о<а-(dp2 + dz2) — p2(i-

1J Исключение составляет только случай q > 0, Ji2=I.

2) Источник только такого вида на конечных расстояниях от особой поверхности дает малые отклонения от сферического решения.

3) Исключение представляет вырожденный случай «точечной особенности»

(см. [И], стр. 269, формула (8.30)). 406 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

Свойства этой метрики аналогичны разобранным в приложении I. В частности, от точки с координатами р0, z0, ср0, двигаясь ВДОЛЬ ЛИНИИ Z = Z0, Ф = Фо со скоростью, достаточно близкой к световой, можно за время

t = p№o)-W[o(z0) — lr2 по часам внешнего наблюдателя добраться до g00 = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

Рассмотрим поле вращающегося шара в вакууме. Состояние шара не обязано быть статическим — он может радиально расширяться или сжиматься. Из соображений симметрии ясно, что при слабом вращении из возмущений Jiviv компонент шварцшиль-ДОВСКОГО решения В первом порядке будут ТОЛЬКО Jl0з, Zi13 и Ji23 (возмущения в диагональных компонентах второго порядка малости). С помощью малого преобразования координат всегда можно обратить одну из этих величин в нуль: при преобразовании ф = ф + J компоненты Ji0з, Ji13 и Ji23 получают приращения

Ah^ = dl'dt> Ah* = d%/dRi Ahl = dl,dQ-Обратим в нуль Ji23. Выпишем нетривиальные компоненты:

«о ___дід Z1 ^h03__д g00h13 \ ft

0^23— QQ у Qt sin20 dR 8щ2 0-;

1 / . Л д . .1л ЗА.

ofl 18 = - -^r (Sin Є -gg- Sin-I е -?*- + 2A18 ) +

I0. дЧлз P2 д2 h03 0

дг2 611 dRdt і?2

«d _ „ 2 , dgQQ sine д . і й dh03

Oit03--^00-^2 -R-n°3~dR---A2 W

+ ^00^(^ + 4-^)-0. (III.l)

Для нахождения стационарного решения положим dhjdt = dhjdt = 0. Тогда решение (Ш.1) имеет вид

h13 = ф (R) RZ Sin2 Є, h03 = - J- 2 а»/» ( -щ-) П (cos Є) sin 0. (I1I.2) ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 407*

Здесь с = 1, G= 1, г|) (і?) произвольна, Л ^ = 2/n, an = const, fn(x) = X3Un(X) j х?\{х) ' = 1—и; 4; ж),

F — гипергеометрическая функция Гаусса (см. [12]); Р\ — первый присоединенный полином Лежандра (см. [12]). Асимптотически

In(X)-X1-", х>1.

Сделав теперь малое преобразование ср = ф — г|) (R), получаем Zi13 = 0, и единственной отличной от нуля компонентой остается Ji03, для которой справедливо (III.2). Это и есть то поле, на которое может асимптотически выходить при t оо (Riiob Rg) поле сжимающегося вращающегося шара.

Конкретный вид поля в вакууме определяется условиями сшивки на поверхности тела с внутренним решением. Условия сшивки, следующие из требований выполнимости уравнений поля на границе,- требуют, чтобы Ji03 была везде непрерывна. Для шара с твердотельным законом вращения (но не обязательно стационарного — он может радиально деформироваться) это условие приводит к тому, что в вакууме Ji03 ~ sin^ 0 и Ji13 ~ sin^ 0. Первое уравнение (II 1.1) тогда выполнено тождественно, а решение двух других совместно с граничным условием при помощи малого преобразования координат приводится к виду

^оз = — sin2 6 -jf-, (ИІ.З)

где M = —am — полный момент.

Таким образом, внешнее поле такого сжимающегося шара постоянно (в линейных по а членах). Выражение (III.3) совпадает по форме с приведенным в [4] для слабого поля. В действительности оно справедливо и в сильном поле при а Rg (с точностью до первого порядка по а).

Интересно отметить, что в то время как магнитный момент коллапсирующей магнитной звезды затухает [13], поле механического момента сохраняется. Это различие объясняется следующим образом. Магнитный момент связан с током I, который при приближении скорости коллапса к с (Ruов ->- Rg) стремится к нулю для шварцшильдовского наблюдателя. Механический же момент сохраняется неизменным, ибо хотя скорость вращения звезды v в системе Шварцшильда при Дпов Rg затухает подобно I, масса элемента объема для локального шварцшильдовского наблюдателя растет с ростом скорости коллапса. В итоге момент M ~ ~ mvR остается неизменным. 408 А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

Решение уравнений Эйнштейна в вакууме для сферической массы т во внешнем квадрупольном поле (нарастающем с удалением от массы т) имеет вид (обозначения те же, что в приложении I):

^=Tln ттг+х^3^2-1) (^2-D'

у = T ln Ij=F ~ 3qX (1 ~ ^ _

—Q2 -1) (:1 - fi2) [ 9уЖ -X*-H* +1 ].

Поверхность g00 = 0 определяется условием Я, = 1. Гауссова кривизна этой двумерной поверхности

rG--^r еЦ1+3q-l2gji«-9gVа + Wl

различна при разных \i и везде конечна. Постоянное внешнее квадрупольное поле может быть создано удаленными массами, закрепленными на подпорках, которые удерживают их от перемещений. Приближенно на ограниченном интервале времени это же поле может быть создано и незакрепленными удаленными массами, скорости движения которых под влиянием взаимного тяготения будут вначале малы и поле почти статично.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed