Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
ному нарастанию возмущений.— Прим. ред.
182
ГЛАВА 5
тронных пучка с плотностями па0 и п$0 движутся в направлении оси ъ с однородно распределенными скоростями Va0 и Fp0. Предположим, что поперечное сечение пучков не ограничено, а сами пучки компенсированы ионным фоном, так что в состоянии равновесия средние электрические поля равны нулю. Предположим также, что масса компенсирующих ионов бесконечна и движение последних при анализе не учитывается (это ограничивает справедливость рассмотрения областью высоких частот).
Взаимодействие волн пространственного заряда (§ 3 гл. 4) с этими двумя пучками электронов может привести к пространственному или временному нарастанию электрических полей. Инкременты определяются из дисперсионного уравнения, получаемого с помощью линеаризованных относительно возмущений макроскопических гидродинамических уравнений. Уравнения непрерывности (3.4.1) для возмущен ий плотности и скорости па1 (z, t) =? = па1 ехр [i (kz — (Oi)] и Val (z, t) = Val ехр [і (kz — (о?)Т (причем па1 Tia0 и ^ai <С Fao) дают для а-пучка
— towal -f ik (na0Vai + UalVao) = 0 (5.5.1)
и аналогично для Р-пучка
— JGMip1 -f- ik (TipuFp1 + Wp1Fpo) = (5.5.2)
Уравнение движения (3.4.2) дает связь между возмущениями скорости и электрического поля:
-ICofal + IkVaoVai =-J-Eu (5.5.3)
TTle
- toFPl + IfcFp0Fpі = - -f - E1. (5.5.4)
TTlg
Обратите внимание, что общим для обоих движущихся потоков является одно лишь возмущение электрического поля. Возмущенное электрическое поле связано с возмущением плотности посредством уравнения Пуассона (3.4.3):
ікЙі= — ^ne (nai-{-Ti^i). (5.5.5)
Исключая па1 и Tipi из (5.5.5) с помощью (5.5.1) и (5.5.2) и затем исключая Val и Fp1 с помощью (5.5.3) и (5.5.4), можно получить дисперсионное уравнение для двухпотоковой неустойчивости
IkEl [l — ((0_*yao)2 — (CO-AFpo)2 ] = °- <5-5-6)
Для заданного равновесного состояния (па0, Va0, npo, Fpo) дисперсионное уравнение (выражение в квад ратных скобках) можно разрешить относительно частоты, чтобы определить ее зависимость о (к) от волнового числа. Например, если предположить, что волновое число к — действительное число кг (в общем случае к = кг + ikt) и разрешить дисперсионное уравнение относительно частоты, которая в общем случае может быть комплексной (т. е. (о = (Dr + 1(ог), собственные колебания могут быть либо нарастающими во времени (щ > 0), либо стационарными ((Oi=O), либо затухающими со временем ((Oi <Г 0). Аналогично, если предположить, что частота со — действительное число, и разрешить дисперсионное уравнение относительно волнового числа, которое в общем случае является комплексным, то можно получить собственные колебания, нарастающие (Ari <; 0), однородные (ki = 0) или затухающие в пространстве (kt > 0). Устойчивость собственных колебаний, описываемых дисперсионным уравнением (5.5.6), удобно исследовать с помощью графиков функции, зависящей от к, как показано на фиг. 86.
УСТОЙЧИВОСТЬТТЛАЗМЫ;!ГИДРОДИНАМИЧЕСКОВ РАССМОТРЕНИЕ
183
Фиг. 86. Графическое решение дисперсионного уравнения (5.5.6).
Приведена зависимость от волнового числа к величины [сОра/(а) — kVa0)2 + Wpp/(co — hV$o)*], входящей в квадратные скобки в уравнении (5.5.6) и равной единице для собственных мод. а — уравнение имеет четыре действительных корня, соответствующих устойчивому режиму с четырьмя волнами; б — уравнение имеет два действительных и два комплексных корня, т. е. одна из волн нарастает
в пространстве.
Задача 5.5.1. Пользуясь выражением (5.5.6), найдите максимальный инкремент (Oj в случае, если оба электронных пучка имеют одинаковые плотности, т. е. па0 = п$о, и распространяются с равными, но противоположно направленными скоростями: Fa0 = —Уро.
Из фиг. 86, а следует, что если дрейфовые скорости пучков сильно отличаются, то для некоторой действительной частоты (ог существуют четыре действительных значения Zer, соответствующие четырем волнам, распространяющимся в единой системе обоих пучков *). На фиг. 86,6 co/Fa0 ~ co/Fp0 (для ясности масштаб на оси к увеличен). В этом случае, когда скорости дрейфа двух пучков почти одинаковы, два корня к действительные, а два комплексные. Следовательно, возможно возникновение нарастающих и затухающих в пространстве волн. Чтобы исследовать эту задачу аналитически, дисперсионное уравнение (5.5.6) для двухпотоковой неустойчивости нужно решить относительно комплексного к в предположении, что (о — действительное число. Разумеется, это можно сделать численно, однако в частном случае дисперсионное уравнение удается разрешить относительно комплексных к непосредственно. Имеется в виду случай, когда 2)
,.2 „2
c0Pa _ c0Pp
V2 V2 *
Уъ0
что соответствует, в частности, пучкам с одинаковыми плотностями и одинаковыми, но противоположно направленными, скоростями (па0 = п$0,
Vao = —V р0).
Для решения этой задачи удобно ввести среднегармоническую скорость F0:
= (^ + Т^г) ’ (5.5.7)
среднюю плазменную частоту о)р:
г) Полное число корней равно четырем, поскольку (5.5.6) есть уравнение четвертого порядка относительно со (или Ar).— Прим. ред.
