Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Второй метод основан на энергетическом принципе. Равновесное состояние плазмы с потенциальной энергией W устойчиво, если W представляет собой минимальное значение, и неустойчиво в противном случае. Для исследования устойчивости плазмы этим методом необходимо вычислить изменение потенциальной энергии плазмы в результате данного возмущения. Плазменное равновесие устойчиво, если изменение потенциальной энергии положительно при любых возмущениях, не противоречащих уравнениям плазмы. Если же существует хотя бы одно допустимое возмущение, для которого приращение потенциальной энергии отрицательно, плазма неустойчива. Этот метод удобен при определении равновесных параметров в случае неустойчивого равновесия. Он не пригоден для нахождения инкремента конкретной неустойчивости.
Третий метод исследования устойчивости равновесия плазмы — анализ собственных частот. В этом методе предполагается, что, если исследуемое равновесное состояние подвергнуто возмущению, линеаризованные уравнения плазмы, описывающие развитие возмущения во времени, могут быть решены при соответствующих граничных условиях в предположении временной зависимости вида ехр (—;і(о?). При этом мы получаем уравнение для (о, в которое входят равновесные параметры. Решения этого уравнения могут быть действительными, мнимыми или комплексными. Если все решения для со действительны, то любые переменные, описывающие возмущение, осциллируют гармонически и плазма устойчива. Если хотя бы одно из решений для о имеет положительную мнимую часть, система неустойчива, поскольку соответствующее собственное колебание будет раскачиваться со временем.
Анализ собственных частот позволяет получить полную информацию
о неустойчивостях, присущих конкретному равновесному состоянию плазмы. Развитие любого начального возмущения может быть прослежено до того предела, до которого справедливы линеаризованные уравнения. К сожалению, анализ собственных частот может быть применен лишь в тех случаях, когда равновесное состояние плазмы достаточно простое, чтобы дифференциальные уравнения плазмы могли быть решены.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ; ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 181
§ 4. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ
Уравнения, используемые при анализе устойчивости равновесия плазмы, содержат определенные равновесные параметры. В большинстве случаев существует некоторое значение данного равновесного параметра (при всех прочих фиксированных), при котором система находится в состоянии безразличного равновесия. Небольшое изменение этого параметра переводит плазму в состояние устойчивого или неустойчивого равновесия. Когда какой-либо другой параметр системы изменяется, значение первого параметра, соответствующее безразличному равновесию, также изменяется. Линия точек безразличного равновесия делит плоскость этих двух переменных на области устойчивости и неустойчивости. Эта линия 'называется границей устойчивости. В задаче, в которой равновесие плазмы зависит от нескольких параметров, граница устойчивости может быть поверхностью в многомерном пространстве.
Задача 5.4.1. Рассмотрите систему, в которой линеаризованное уравнение для возмущения имеет вид
x-j-2Ax-f- Bx = 0.
Определите границу устойчивости в плоскости AB и покажите, что парабола A2=B разделяет периодические и экспоненциальные решения, соответствующие устойчивости и неустойчивости.[Колебания с экспоненциально нарастающей амплитудой называют иногда колебательной неустойчивостью *). Определите область колебательной неустойчивости в плоскости А В.
Б. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ В РАМКАХ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Однородная плазма, заполняющая все пространство, может быть неустойчивой, если функция распределения по скоростям каким-либо образом отклоняется от максвелловской. Свойства подобной плазмы обычно изучаются с помощью теории, основанной на уравнении Власова (гл. 9). Тем не менее часто оказывается возможным использовать также уравнения для макроскопических гидродинамических переменных, чтобы выяснить устойчивость указанных равновесных состояний плазмы. Здесь мы рассмотрим два примера. Первый из них — это двухпотоковая неустойчивость, возникающая в результате взаимодействия двух групп частиц плазмы, дрейфующих одна относительно другой. В процессе развития неустойчивости происходит нарастание электростатических волн, которые черпают энергию из кинетической энергии относительного движения. Вторым примером служит неустойчивость по отношению к нарастающим электромагнитным волнам, возникающая в результате различия температур плазмы в направлениях, параллельном и перпендикулярном магнитному полю. Обе указанные неустойчивости исследуются методом анализа собственных частот.
§ 5. ДВУХПОТОКОВАЯ НЕУСТОЙЧИ ВОСТЬ ВОЛН ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Примером кинетической неустойчивости, которая может быть исследована с помощью гидродинамических уравнений, является двухпотоковая неустойчивость. В рассматриваемом здесь равновесном состоянии два элек-
1J В отличие от апериодической неустойчивости, соответствующей экспоненциаль-
