Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поверхностные волны не связаны с каким-либо возмущением плотности заряда. Распространение их напоминает перистальтику, а распределение полей показано на фиг. 67.
Фиг. 66. Распределение электрического ПОЛЯ азимутально-симметричной поверхностной волны, распространяющейся в столбе незамаг-ниченной плазмы радиусом д, расположенном в свободном пространстве.
Задача 4.8.11. Волны, рассмотренные выше, представляют собой медленные волны в том смысле, что их фазовая скорость много меньше скорости света. Это означает, что для них V X E « 0 и их свойства можно исследовать с помощью скалярного потенциала ф, удовлетворяющего уравнению У2Ф = 0. Покажите, что дисперсионное уравнение
Невозмущенная поверхность плазмы
Вакуум
Во:лущенная пов?рх»’эсть глазмы
Фиг. 67. Структура электрического поля азимутально-симметричной поверхностной волны, распространяющейся в столбе незамагниченной плазмы, расположенном в свободной
пространстве.
148
ГЛАВА 4
'Фиг. 68. Дисперсионная кривая волн, распространяющихся в столбе незамагниченной плазмы, расположенном в свободном пространстве.
Результат получен с помощью квазистатического рассмотрения.
для поверхностных волн в плазменном столбе радиусом а, расположенном в свободном пространстве, имеет вид
, I0 (ка) Kf0 (ка)
со2 Г0 (ка) K0 (ка)*
Решите это уравнение и покажите, что закон дисперсии таких поверхностных волн по виду совпадает с представленным на фиг. 68. Обсудите свойства этих волн и сравните их закон дисперсии с дисперсионным уравнением, полученным из полной системы уравнений Максвелла.
§ 9. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ХОЛОДНОЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ (E0 = 0, B0 = B0Z)
Если плазма помещена в постоянное однородное магнитное поле, то ее эффективная диэлектрическая проницаемость больше не является скалярной функцией частоты, выражение для которой было получено в начале настоящей главы.
Диэлектрические свойства замагниченной плазмы определяются из двухжидкостных уравнений (3.4.1) — (3.4.6) с учетом магнитного поля. [При изучении волновых явлений имеет смысл пользоваться двухжидкостными, а не одножидкостными уравнениями (см. также обсуждение волн пространственного заряда), поскольку высокочастотные колебания воздействуют на электроны в большей степени, чем на ионы; это приводит к образованию областей с локальной плотностью зарядов pq, что делает неудобным использование точной системы одножидкостных уравнений и неправильным использование приближенной системы.] Рассмотрим однородную покоящуюся плазму с плотностью электронов Ti0 в отсутствие электрических полей и токов, расположенную в однородном магнитном поле В = B0Z0. Будем считать далее, что это состояние слегка возмущено:
п = п0 + ще~ш, R1 < щ.
Вычислим возмущенные величины B1, E1 и V1, используя гидродинамические уравнения и пренебрегая всеми членами, включающими в себя произведения возмущенных величин (т. е. нелинейными членами). Запишем эти уравнения.
Уравнение непрерывности
— иOnai + ^aoV ^Val = 0.
(4.9.1)
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
149*
Уравнение движения
^-(E1
Уравнения Максвелла
VXE1 = -^-B1,
Vgj X Bp
V X B1= E1+ 4г- S Я«па,Vel.
(4.9.2)
(4.9.3)
(4.9.4)
В результате простого, но громоздкого вычисления уравнения Максвелла можно записать в виде
VXE1=-^B11
VXB1=--8-е,;
(4.9.5)
здесь использован тензор диэлектрическои проницаемости
-|- ІЕ2 О
E =
— IB2
О
Єї
О
О
?з_
компоненты которого записываются следующим образом:
B1 = I
ре
CD'
Pi
Є2 = '
COfT0--COz
"ре
c0Ci-0)2 ’
Pi
CO CO2c-CO2
CO CO2i-CO2 *
8, = 1 ¦
ире
Pi
CO2
(4.9.6)
(4.9.7)
(4.9.8)
(4.9.9)
Обобщение компонент тензора диэлектрической проницаемости на многокомпонентную плазму очевидно из этих выражений. Обратите внимание, что, согласно определению, Wce и о)С1- — положительные величины.
Для многих приложений выражения (4.9.7) — (4.9.9.) могут быть упрощены. Например, диэлектрическая проницаемость неограниченной холодной бесстолкновительной плазмы, помещенной в постоянное однородное магнитное поле, для высокочастотных возмущений определяется тензором (4.9.6) с компонентами
E1=I
C^ce со2 ’
Єо = -
E3 = I--------------
(4.9.10)
(4.9.11)
(4.9.12)
Задача 4.9.1. Проверьте справедливость выражений (4.9.5) — (4.9.9).
Изучать характерные частоты и моды колебаний в случае замагничен-ной плазмы наиболее удобно, если рассматривать решения уравнений Максвелла для неограниченной плазмы. Поэтому следующие два параграфа мы посвятим такому рассмотрению. Уравнения (4.9.5) дают волновое урав-
150
ГЛАВА 4
нение; действительно, исключая B1, их можно привести к виду
TiVa
VXVXE1 = -Je-E1.
Решения этого уравнения записываются следующим образом: E1 (г, t) = E1 (к, со) ехр [і (к«г —со^)]. Следовательно, уравнение (4.9.13) можно записать в виде
или
E1-к (к-E1) = -5-в*E1;
(4.9.13)
(4.9.14)
(4.9.15)
(4.9.16)
здесь к = к т/и (и — фазовая скорость волны) и п = с/и — показатель преломления. С целью упрощения алгебраических преобразований была выбрана система координат с осью Z1 направленной вдоль вектора постоянного магнитного поля B0, и вектором к, лежащим в плоскости yz (фиг. 69).
