Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 4.8.5. В отличие от волноводпых мод, каждая из которых имеет свою критическую частоту, моды плазменных колебаний все имеют полосу пропускания частот от 0 до сор при различных радиальных или
144
ГЛАВА 4
Z
Z
Z
а г
Фиг. 63. Распределение электрических полей и зарядов в основной азимутально-симметричной моде волн пространственного заряда в заполненном плазмой волноводе с бесконечным аксиальным магнитным полем.
Через четверть периода E и р равны нулю, а распределение электронов по скоростям пропорционально Ez,
азимутальных зависимостях. Определите амплитуды распространяющихся мод, если при Z = 0 электрическое поле Ez (г, 0, 0, t) = Eо sin соt.
Задача 4.8.6. Возмущения электрического поля в компенсированном электронном пучке радиусом а, заполняющем трубу с бесконечным постоянным продольным магнитным полем, имеют вид
При этом дисперсионное уравнение для волн пространственного заряда (возмущения малой амплитуды) записывается следующим образом:
где pnv — корни уравнения Jn (pnv) = 0. Исходя из уравнений Максвелла, покажите, что указанное выше решение удовлетворяет дифференциальному уравнению
Elz = AJn ) exp [i(kz—/г0 — со^)].
MJv
(со-АУог)2
причем нужно учесть, что решение ищется в виде
Eiz = R (г) 0 (0) exp [i (kz— JiQ-(Ot)].
ВОЛНЫ B ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
145
8.2. Поверхностные волны в столбе незамагниченной плазмы
В отсутствие постоянного магнитного поля тензор диэлектрической проницаемости сводится к скалярной величине, вычисленной в § 1 настоящей главы,
e = l—g-. (4.8.18)
Рассмотрим столб незамагниченной плазмы радиусом а, расположенный в проводящем цилиндре радиусом Ъ (фиг. 64). Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется выражением (4.8.18). Дифференциальные уравнения для мод, распространяющихся в этой системе, полученные из уравнений Максвелла, записываются в виде
{"+[?(1--3)-*]}[?]-о. о<'<- (4.8.19)
И+(-?-*,)][?“]=0. я<г<6;
здесь Vr — лапласиан по поперечным координатам:
1 д д , 1 д2 ^т^Т1)гГ~дг'~т*~~д№ ЧилинДРических координатах).
Задача 4.8.7. Проверьте, правильно ли записаны уравнения (4.8.19).
Задача 4.8.8. Покажите, что в цилиндрической системе (фиг. 64) все
поперечные компоненты полей выводятся из продольных компонент
Elz и Blz. Каковы эти компоненты полей в изучаемой системе?
Волны, связанные с решением дифференциальных уравнений для Elz, называются Е-модами, а волны, связанные с Blz,— В-модами 1J. Хотя Elz и Blz удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям, собственные решения для них оказываются разными в силу различных граничных условий на поверхности раздела плазма — вакуум и на проводящей стенке. Граничные условия на поверхности раздела плазма — вакуум не связывают E- и Б-моды, обладающие азимутальной симметрией, в то время как моды с зависимостью от азимутального угла преобразуются друг в друга на этой границе. В последнем случае, чтобы удовлетворить граничным условиям, необходимо брать линейные комбинации E- и 5-мод. Для простоты мы рассмотрим только азимутально-симметричные моды.
V / / / / / / ////// / // // // // // // /А
6
I : * а \ -і
- Плазма ;- г Вакуум
Идеально проводящие стенки волновода
Фиг. 64. Цилиндрический волновод, частично заполненный холодной незамагниченной
плазмой
l) В теории волноводов приняты соответственно названия TM- или ?-волны и TE-или II-волны (поперечно-магнитные и поперечно-электрические). Отметим, что приводимые здесь дисперсионпые уравнения могут быть получены из известных уравнений теории волноподов с диэлектрическими вставками путем подстановки в них выражения для диэлектрической проницаемости плазмы.— Прим. ред.
146
ГЛАВА 4
Задача 4.8.9. Каковы свойства азимутально-симметричных В-мод в системе, показанной на фиг. 64?
Решение уравнения (4.8.19) для азимутально-симметричных E-мод, распространяющихся со скоростью, меньшей скорости света (Zc2 > со2/с2), имеет вид
Г 0 <г<а, (4.8.20)
ЕП= I Л1O (тог) (т0Ь) - /о (ЧЬ) K0 (т0г) Ы) a<r<b; (4.8.21)
V I0(T0U) К0(т0Ь) — I0(x0b) К0(т0а) ' '
здесь
^o = *2-(4.8.22) ^2 = *2-?- + -^, (4-8-23)
a I0 и K0 — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. Решение выбрано таким образом, чтобы поле Elz было ограниченным на оси (г = 0), непрерывным на границе плазмы (г = а) и равным нулю на про-
Фпг. 05. Дисперсионные кривые поверхностной волны в столбе пезамагниченной плазмы радиусом а при различных значеннях параметра {а})а!с [12].
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
147
водящей стенке (г — Ь). Тангенциальная компонента магнитного поля (B1Q) также должна быть непрерывной на границе плазмы. Из последнего условия следует дисперсионное уравнение для этих волн
I If0(Ta) _ 1 х \ со2 / тa I0(Ta) T0а
Г0 (т0а) K0 (Tpb)-I0 (Tpb) К'0 (т0а)
/о (Tofl) ко (Чь) — 1O (Tob) K0 (Tpg) ’
(4.8.24)
где штрихом обозначена производная по аргументу.
Задача 4.8.10. Покажите, что выражение (4.8.24) получено правильно.
Решение уравнения (4.8.24) в случае Ыа оо при различных значениях сора/с приведено на фиг. 65, а компонента Elz как функция радиуса изображена на фиг. 66. Величина сора!с есть отношение радиуса плазменного столба К высокочастотной глубине проникновения б = с/(др для волн в холодной плазме. Когда о)ра/с 1, поле проникает в глубь плазмы, и при низких частотах о сор волны распространяются без дисперсии с фазовой скоростью, много меньшей скорости света. С увеличением сора!с поле все более концентрируется в приповерхностном слое и распространяется с большей скоростью, которая приближается к скорости света при соpalc I. В последнем случае поля не проникают заметно в глубь плазмы и плазма ведет себя почти так же, как хороший проводник. Отношение ElzIElr вне плазмы становится малым, и мода весьма напоминает поперечную электромагнитную волну, распространяющуюся в коаксиальной линии. Поскольку все компоненты поля максимальны на границе плазма — вакуум и затухают вдали от нее, волны эти называются поверхностными волнами.
