Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
В отличие от рассеяния на холодной плазме теперь для нахождения частного решения недостаточно двух граничных условий, следующих из уравнений Максвелла, поскольку необходимо определить три константы: Any Bn и Cn. В рамках этих уравнений невозможно однозначно определить нужные константы. Для ответа на этот вопрос необходимо знать детали взаимосвязи волн и частиц плазмы, а это требует микроскопического рассмотрения [11]. Что можно сделать на данном этапе, так это рассмотреть различные решения уравнений, соответствующие определенным видам движения плазмы, оставив для микроскопического рассмотрения решение вопроса о том, какие движения легче всего возбуждаются падающей волной. Например, рассмотрим такие возмущения, при которых добавка к радиальному току равна нулю всюду на границе, т. е. Jlr (a) = n0eVlr | r=a = 0. Подставляя это условие в (4.7.86), получаем условие для фх:
которое в свою очередь дает соотношение между An и Bn. Потенциал внутри плазменного столба для каждой гармоники п записывается в виде
(4.7.8а)
(4.7.86)
(4.7.9)
(4.7.10)
У2ф = — 4яе (щ — п),
здесь
V2 (V2 + &2) Фі(г, 0) = 0;
Ь)2—(О* ^ j / "
~ укТ/т \
(4.7.11)
(4.7.12)
Фвнутр (Г, 0) = 2 [ап (-?)"+ Bn sin«0.
(4.7.13)
71
Вне плазмы решение имеет вид
фвнеш = S Cnr~n Sin п0 + Етлг sin 0.
(4.7.14)
П
ты* дг
зкТ д
(у2Фі) L =о,
I т=а
(4.7.15)
(3кТ/m) /с2X Jn (ка) COp / J11 (ка)
)
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
137
Снова использованы электростатические граничные условия на поверхности раздела плазма — вакуум. Условие Vlr = О, согласно уравнению непрерывности (4.7.8а), требует отсутствия поверхностных зарядов на границе, в силу чего электростатические граничные условия теперь состоят в непрерывности ф и дфIdr на границе плазма — вакуум. Последнее требование приводит к тому, что амплитуда п-й гармоники может быть отлична от нуля, только если
JL4+ (4_ і) ; (4.7.17)
ка Jп (ка) со* \ со* J ' 1
P
здесь
Это соотношение дает частоты, при которых в горячей плазме могут быть возбуждены моды, удовлетворяющие условию Vlr = 0. Вследствие произвольности ограничения Vlr = 0 нельзя утверждать, что в плазме не существует других мод, которые также могли бы возбуждаться. Уравнение (4.7.17) можно решить (графически или численно) для больших значений а/Яс. Главный резонанс при п = 0 имеет место на той же частоте, что и в холодной плазме, т. е.
о* *4-. (4.7.19),
Кроме того, имеется ряд резонансов на плазменной частоте и на более высоких частотах, определяемых выражением
^2 = toP (1+4г*»)’ (4-7-20)
где X1 ж 5,3, X2 ^ 8,5 и т. д. В отличие от холодной плазмы, резонирующей на единственной частоте, учет тепловых эффектов в плазме приводит к возникновению серии резонансов.
Задача 4.7.3. Покажите, что, если плазма граничит не с вакуумом, а с какой-либо средой (например, со стеклом), имеющей диэлектрическую проницаемость Ke, резонансы возникают, когда выполняется соотношение
п К /j?—4\ + І2І, (4.7.20а)
ka Jfn (ка) \ со* I V '
откуда следует
1 + 1 /Ke
Нужно отметить, что, хотя проведенный анализ предсказывает существование главного резонанса при со = (Op/]/2, он не говорит о том, что характер движения плазмы в данном собственном колебании такого же типа, что и раньше. Расчет главного резонанса в холодной плазме дает поле дипольного типа
Ф* ж Er sin 0 + 2 ЕпГп sin nQ, со = —~,
П>1 ^
Тогда как расчет для горячей плазмы с граничным условием Vlr (г = а) =0 дает
138
ГЛАВА 4
Sr
Фиг. 57. Элемент поверхности раздела плазма— вакуум.
Показана область интегрирования, используемая при вычислении скачка электрического поля на границе плазма — вакуум с помощью теоремы Гаусса.
жен течь ТОК,
пропорциональный — ICO Vlr
т дг
Разница между этими двумя ответами связана с разницей в граничном условии, налагаемом на возмущенное поле, а не с учетом теплового движения в плазме. Чтобы убедиться в этом, вместо условия V1 г (г= а) = О можно наложить условие Ti1 = 0 внутри плазмы. Такое условие означает У2Фвнутр = О» откуда следует, что в (4.7.13) нужно положить
Bn = 0.
Если внутри плазмы H1 = 0, то, согласно (4.7.8), в плазме дол-
Vlr, т. е.
дфі
Из уравнения (4.7.8а) следует, что поскольку вне плазмы Vlr = 0, то при г = а должен возникать возмущенный поверхностный заряд. Этим и отличаются колебания плазмы с (а) = 0 от колебаний, описываемых уравнениями (4.7.2) — (4.7.8). Результаты, полученные при рассмотрении плазмы как диэлектрика, можно было бы воспроизвести другим путем, используя уравнение Пуассона для выражения скачка радиальной компоненты поля Er на границе через поверхностный заряд, как показано на фиг. 57, а именно
„ I афвнутр^ j = j w dx =
По объему
\ дг
дг
= ^-n6Vlr(r = a)A:
4лп0е2 ?дфі л . лісо2 1Г ;
(4.7.21)
здесь использована теорема Гаусса при преобразовании j V-V1^x= j Vlr da = AVlr (г = а).
По объему А
Поскольку вне плазмы Vlr = 0, выражение (4.7.21), очевидно, эквивалентно условию (4.7.4).
