Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
х) В статье Даусона [18] собран большой материал и приведено много ссылок на работы по методу пробных частиц.
k*k' ехр [і (к — к')*Ь^] 6 (со —к-ve0) б (со—k'-Ve0) кЧ'Юь (к, со) (к', со)
dk dk' Т
Р( CO)
§11. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, УЧИТЫВАЮЩИЕ СТОЛКНОВИТЕЛЬНУЮ РЕЛАКСАЦИЮ B ПЛАЗМЕ
470
ГЛАВА 11
заряженных частиц в диэлектрической среде отличается от их столкновения в вакууме.
Кинетическая теория, учитывающая столкновения, может быть построена различными способами 1). Последующее изложение находится в тесной связи с квазилинейной теорией (гл. 10), которая была развита для вычисления релаксации неустойчивой плазмы.
Рассмотрим устойчивую плазму, содержащую Na частиц сорта а, в которой среднее поле E = O. Пусть распределение этих частиц описывается точно зависимостью координат и скоростей всех частиц от времени:
в верхнем уравнении член с к = 0 в E *VyFa выписан отдельно.
Естественно ожидать далее, что компонента Fat к=о* соответствующая однородной системе, больше, чем величина Faк» которая учитывает «дискретность» плазмы. В рамках уравнения Власова Fa, ъ=0 дает полное описание устойчивой плазмы. Это приводит к следующему приближению: считая Fa^ Jc=O ^ Fakfj пренебрежем В (11.11.6) членом S Ek' 'Vy^ccCk-k')* ^ ЭТОМ
1J Кинетическое уравнение, о котором идет речь в данном параграфе, впервые было получено в работах [1, 23, 24]. Приводимое ниже рассмотрение базируется на источниках (25, 26], а также на частном сообщении Хамасаки (S. Hamasaki).
s=i
В момент времени t = т мы имеем
Fa(x, V, г = т)= 2 б (X-X4) б(v — vs).
(11.11.2)
S= 1
Это распределение подчиняется уравнению Лиувилля (см. гл. 7):
(11.11.3)
(11.11.4)
а
здесь па = NaIVi а У — объем системы.
Фурье-образы величин Fa и Е, определяемые выражениями
^cck (V, 0= 2 My-Vs(01exp (ik-Xs),
(11.11.5)
удовлетворяют уравнениям
а, к= 0 —
(И.11.6)
kf=fi=k
ik• Ek = 4л 2 Fak dv;
а
к'фк
ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
471
приближении плазма описывается следующими уравнениями:
+ ik-VFcck + Jk- Ek-VvFa, к=0 = О,
(11.11.8)
V • Ek — AziTiaQa ^ FCtk dx у
(11.11.9)
а
Fak (І = 0) = 2 б (V — Vso) ехр (ik- Xso).
Сходство данной системы уравнений с уравнениями квазилинейной теории (гл. 10) очевидно. Различие состоит в том, что в неустойчивой плазме столк-
тов, в то время как в рассматриваемом теперь случае он определяется дискретной природой плазмы. Точно так же, как и в квазилинейной теории, малость производной dFat ^0Idt = Ol(qjma) (Ek-Vv^ak)! показывает, что усредненная часть функции распределения Fa^=0 в процессе приближения к равновесному состоянию меняется медленно по сравнению с характерными временами изменения полей, связанными с движением отдельных частиц плазмы, когда они проходят одна вблизи другой.
Решение уравнений (11.11.7) и (11.11.9) восстанавливается по начальным значениям (11.11.2) обычным, уже не раз использованным нами методом.
Преобразование Лапласа
Обращение преобразования Лапласа дает зависимость полей и функций распределений от времени. В интеграле обращения имеются вклады от полюсов двух типов: один от D (k, ip) = 0, а другой от р = ik-v. Первый вклад приводит к членам, пропорциональным ехр (—шк?), где (Ok — корень уравнения D (к, сок) = 0. Ho так как нормальные моды устойчивой плазмы затухают, эти члены не играют роли на больших временах. Оставляя, таким
новительный член 2 Ek/ eVv^ak' возникает вследствие коллективных эффек-к'
OO
О
(Fa1Ic=O = Fao)
позволяет найти компоненты полей и функций распределений:
Fak(v’ *=°)~ (gttMa) eIc-Vv^afk=O (v’ *)
(11.11.10)
ik • V — р
ik-Efc(P) =-Ffr1t ip) j
a
(11.11.12)
a
472
ГЛАВА 11
образом, только вклад от полюса р = ik*v, получаем
Na _
Jk-EkW= - 2 2 А~а9а 7t-tZ iik'Xso) ¦ (11.11.13)
а 8=1
Nfr
а
Fak (t) = — 2 б (v — v8) ехр (ik • х80) ехр (ik • vi) —
8=1
?а Vl Xl (k'^v^ao) |” 1 /.і \ ,.і \
2 2 ^-(k.v-k.y.) Lp (k, -k-vs0)ехр (tbv^) exP (ік’х«о)—
P 8=1
~ D (к, — к • V)ехр ' yt^ехр ' Xs°) ] ’ (11.11.14)
%®(v> O=-J5-S Е-V W-VvFek. («). (11.11.15)
а к'
Выражения (11.11.13) и (11.11.14) можно подставить в уравнение
(11.11.15), которое и определяет столкновительную релаксацию устойчивой плазмы. Для практического использования этого уравнения необходимо проделать еще две операции. Во-первых, поскольку основной интерес представляют времена, сравнимые со временем релаксации, уравнение (11.11.15) можно усреднить по быстрым осцилляциям ехр (?k*v?). Во-вторых, (11.11.15) следует усреднить по ансамблю Na дискретных частиц. Это означает, что
сумма по индивидуальным частицам 2 A (vs) должна быть заменена на
S=I
Jfcc (у') А (у') dv'. В результате кинетическое уравнение (11.11.15) записывается в виде
(2 ~Е-ъ' W-VvFok'(*)> , (11.11.16)
dt
к'
X
где ( > означают усреднение по ансамблю, а черта сверху — усреднение т
(IIT) ^dt по периодам быстрых осцилляций. В развернутом виде уравнение о
(11.11.16) выглядит следующим образом:
