Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
449
Затем, поскольку скорость уменьшения электростатической энергии Whtо вследствие затухания Ландау для каждой моды (к, со) пропорциональна Whtid ж E2 ~ ехр (2сог?)> то, согласно линейной теории, мы имеем
Jl dt
— Wb
.7. W k, и)
= 2(OiVFftlto= —(apeDi(k, (о)ТУй,и. (11.4.6)
затухание; и '
Скорость уменьшения полной энергии волны (суммы электростатической и механической энергий) равна удвоенной скорости потерь электростатической энергии, т. е.
dWht Q) волн_ ш //tA j H74
dt dt (Ll.b.t)
Это справедливо лишь для ленгмюровских колебаний, поскольку их энергия состоит наполовину из электростатической, а наполовину из механической энергии. В общем же случае, согласно п.3.3 гл. 4,
¦gffsps.^2COiWhtat to dDm) . (11.4.8)
Сравнивая мощности излучения (11.4.4) и поглощения (11.4.6) и (11.4.7), мы видим, что энергия, излучаемая пробными частицами, в точности уравновешивается поглощением волн вследствие затухания Ландау. Существование равновесия между поглощением и излучением в стационарном состоянии называется законом Кирхгофа. Чтобы показать, что закон Кирхгофа выполняется для всех волн в плазме, нужно найти декремент со* из уравнения D (к, со) = 0, разлагая D (к, со)=Dr (к, (Or) + ш* (dD/dco) + iDt + . . . вблизи точки (о = сог, где Dr (к, (Or) = 0. Для слабо затухающих волн это дает
C0.=______Di (к* /\\ 4 о\
(d/dcOf) Dr (к, сог) ^АА
Таким образом, уравнение (11.4.4) можно записать для ленгмюровских волн в виде
^ Мощность излучения В о JJ7 dD /лл / лг\\
Pht C0= „ у = —2 (OiWkt ^(о-г—. (11.4.10)
н’ш единичныи интервал частот 1 w dсо v '
Сравнение (11.4.10) с (11.4.8) показывает, что закон Кирхгофа выполняется (а независимые вычисления характеристик излучения пробными зарядами, поглощения вследствие затухания Ландау и равновесного уровня флуктуаций поля согласуются друг с другом) для всех плазменных волн (слабо затухающих собственных колебаний плазмы). Уравнение (11.4.4) верно для всех частот и волновых векторов.
Закон Кирхгофа представляет собой мощное средство при вычислении характеристик излучения любой плазмы, для которой известны коэффициент поглощения и стационарный уровень флуктуаций. Например, мощность излучения максвелловской плазмы можно рассчитать исходя из коэффициента затухания, найденного с помощью уравнения Власова, и приняв во внимание следующие свойства плазмы:
1. В максвелловской плазме, находящейся в термодинамическом равновесии со своим окружением при температуре Г, уровень шумов I (к, со) определяется черным излучением.
2. В этом случае (11.4.10) позволяет определить мощность излучения по декременту затухания Coi и равновесной плотности излучения.
3. Спонтанное излучение зависит только от температуры плазмы и распределения частиц. Поэтому вычисленная согласно п. 1 и 2 мощность излучения плазмы, находящейся в равновесии с окружающей средой, совпадает в хорошем приближении с мощностью излучения максвелловской плазмы, находящейся в любых условиях.
450
ГЛАВА 11
Задача 11.4.2. Прочтите статью Тидмана и Эвиэйтора [4] и обсудите вопрос о диффузии пробных частиц (происходящей наряду с рассмотренным в данном параграфе торможением таких частиц).
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
В предыдущих параграфах мы рассматривали только электростатические флуктуации в равновесной плазме, т. е. лишь те компоненты спектра электрического поля, в которых k Il Ek- Наряду с этими флуктуациями в плазме существуют электромагнитные флуктуации, обусловленные движением пробного заряда со скоростью v' и возникновением в связи с этим тока, плотность которого равна
jT = qTy'8(x — X0-\'t).
Электромагнитные флуктуации можно вычислить теми же методами, которые были развиты в § 3 и 4 настоящей главы.
Уравнения Максвелла для электрических полей с k I Ejt до и после применения преобразований Фурье по координатам и Лапласа по времени записываются следующим образом:
V X В(х, t) = i. ~ + -J- 2 naqa j xfa d\ v'S (x — x' —v'?),
a
A x k x B1.. -p>b., = 4яр 2 j +
a
4я<?гу/ exp (— ik-Xp) — tk-v' ^ 5 1>
' (2ji)3 * v * * "
Обращение преобразований Фурье и Лапласа дает электрическое поле в виде функции координат и времени:
где
Е(х,<)= jexpUk.(x-x'-v'*)1 (Sj'
Dt (k, k.v') = I +^gr-. (11.5.2)
Отсюда для энергии флуктуаций электромагнитного поля получаем
<E2 (х, *))_ у 4 - , Г dk Г (k-v')2 (k X у')2 _ dy' /ц 5 34
8я -Zi ) (2я)3 J fcM|Z)x(k, k-v') 1?2 (2я)3 •
a
Поскольку в плазме скорости частиц v с (это означает, что мы
должны положить /а0 = 0 при и > с, чтобы избежать несуществующего в действительности резонанса в I/Dt)* мы можем считать с хорошей точностью Dt= 1 + (йр/к2с2. В результате выражение для энергии электромагнитных волн записывается в виде
<?2(х, f)> - 2 ( \2 f I dk _
8я “2IekmOLgay Wa ) j Лас4(1+ 0)2/^2)2 (2я)3 ~
a
~ „Т С _.шр . * *Те dk . /Ц5 4Ч
~ pJ А:2с2 (1 + с»їр/к2с2)2 TTteC2 (2я)3 * \ * * /
здесь опущены члены, связанные с движением ионов.