Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. Экранирование пробного заряда, движущегося с промежуточной скоростью (]^хТ ilwii < v' < YхТе/те)
В данном случае диэлектрическая проницаемость приближенно определяется выражением
__________ 0<УЛ-у') = і~%-\тЧ$-'1и-
1J В действительности экранирование происходит на расстоянии, которое значительно больше дебаевского радиуса.— Прим. ред.
442
ГЛАВА 11
а потенциал имеет вид
Ф=|Х—4-v7[ е*Р [-l»-»o-v'*l (11-1-14)
Возмущение плотности электронов равно
~епе j /eldv = -±- (< j і du) ф, а возмущение плотности ионов мало:
р» ^ о г P^1 L "Ч («О2 J ‘
Следовательно, пробная частица, которая движется быстрее, чем ионы, но медленнее, чем электроны, экранируется только электронами (плотность электронов увеличивается при qT > 0 и уменьшается при qT < 0). Из сравнения (11.1.12) и (11.1.14) ясно, что радиус экранирования движущегося пробного заряда электронами больше (в Y2 раз), чем радиус экранирования покоящейся частицы.
С помощью представления о пробных частицах можно найти и другие свойства равновесной плазмы.
Задача 11.1.2. Вычислите первые поправки по скорости к экранированным потенциалам (11.1.12)—(11.1.14). Эти поправки называют черенковскими следами. Они связаны с тем, что пробные частицы движутся быстрее плазменных волн.
§ 2. ФЛУКТУАЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПЛАЗМЕ
Даже в устойчивой плазме существуют электрические поля и плазменные волны конечной амплитуды. Эти волны представляют собой собственные колебания системы, и соответствующие им степени свободы возбуждены в термодинамическом равновесии. Плазменные волны испускаются частицами при их движении в плазме и ею же поглощаются (например, при затухании Ландау).
Динамическое равновесие между испусканием и поглощением волн приводит к существованию равновесного уровня флуктуаций поля.
Равновесный уровень (и спектр) электрических полей можно непосредственно вычислить, исходя из электрического поля движущейся пробной частицы (§ 1 настоящей главы). Электрическое поле E = —Уф в плазме вблизи пробной частицы, находящейся в точке х' и движущейся со скоростью v', дается выражением
Е(х,х\ v')= —4я qT j exp {tk« [х x' (01} ^ k,v>)(И-2.1)
где
D (к, к-V') =I-S lim ( lT7k‘Vr • dx-
v 7 к2 s-*"o J k*(v — v ) — іг
a
Это электростатическое поле полностью экранированной пробной частицы определяется диэлектрическими свойствами плазмы.
Среднее поле в точке X плазмы можно вычислить, если просто сложить поля всех пробных частиц. Такое вычисление средних полей можно выполнить формально, если рассматривать плазму как ансамбль некоррелированных между собой пробных частиц, однородно распределенных в пространстве и распределенных по скоростям согласно fao• Пусть P (х, t; х', у') — некоторая величина, описывающая свойства плазмы в точке х в момент времени t
ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
443
при наличии в точке х' пробной частицы, движущейся со скоростью у'. Среднее этой величины по ансамблю экранированных некоррелированных частиц определяется выражением
<P (х, t; х', v')> = 2 Na j -^r j P (Х, t; х\ v') fa0 (v') dv', (11.2.2)
a
где Nol — число пробных частиц сорта a.
Из предположения о равномерности пространственного распределения пробных частиц следует, что среднее поле в точке х равно нулю. Действительно, пробная частица, которая могла бы создавать поле в точке х, с равной вероятностью может находиться в любом месте (см. задачу 11.2.1).
Задача 11.2.1. Покажите, что среднее поле в точке х, создаваемое пробной частицей сорта а:
(Е (х))а = j dx' j E (х; х', v') /а0 (v') dv',
тождественно обращается в нуль.
Среднее значение величины E2 можно вычислить из (11.2.1), используя процедуру усреднения (11.2.2):
(Е(X)¦ E<х» = 2 <4я,„)> J j N.U(V-) d,' j ib, <sjr X
a
w f .-Ir exp[ —Ik2-(X-XQ) dk2 . .. . 9
xJ lK2 ArfZ?* (k2, k2-v') (2я)3 ’
здесь D* — величина, комплексно-сопряженная D. Интеграл j dx' дает б-функцию:
j exp[i(k2—k,)-x'] = 6 (k2 kj).
Поэтому интегрирование no dk2 нетрудно выполнить, и мы имеем
_1_ се Ы«Е fx)> — V Г _\______dy' ні 9 4}
8я J Zc21D (k, k-v') I2 (2я)3
a
Для любого к диэлектрическая проницаемость зависит только от компонент скорости v', направленных вдоль к, поскольку D = D (k, k-v').
Функцию распределения /а0 удобно проинтегрировать по двум другим компонентам у', определив одномерное распределение
•Pao(M)=j 8 (u — /ao(v')dv\
Далее, обозначая со = ки, можно записать (11.2.4) в виде
<Е(х, O-E (х, <)> f f 4я2па?|^а0 ((о//с) dt0 /<м 0 кч
8я — J (2я)3 J Zj *21Z» (Ar, со) P 2я
-оо а
Из этой формы записи ясно, что величину
An^naqIFa0 Ык) лм?Вї
Wh, со 2J к2 ID (к, со) I2 (И.2.6)
a
можно рассматривать как спектральную плотность флуктуаций поля. Таким образом, имеем
(E2 (х, t)) _ С rik С 2 74
8я ” J (2я)3 J ® 2л; ‘
444
ГЛАВА И
Задача 11.2.2. Исходя из выражения [см. (11.1.9)]
ф(к’ = ~РD (к!к-V') ЄХР (— *к‘:^o) exP (“ik'v'0>
найдите
сю
E(к, со)= j E(к, ?)ехр(— Ш)
— оо
и покажите, что
