Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в момент времени ? = 0 пробная частица находится в точке Xr01 имеет скорость v' и не «одета», т. е. /а1 (t = 0) = 0. Уравнения (11.1.2) и (11.1.4) описывают процесс поляризации плазмы, и решение этих уравнений при t оо дает экранирование такой (дискретной) пробной частицы* Вычисления похожи на те, которые проводились при изучении плазменных волн (§ 1—6 гл. 8). Уравнения (11.1.2) и (11.1.4) решаются с помощью преобразования Лапласа по t и преобразования Фурье по х для возмущения функции распределения:
OO с»
7ak (V, к, р) = j dt j /ai(v, X, Oexp ( —tk-x) exp (— рі)-щз, Re(p)>Po-
O -OO
Преобразование уравнений (11.1.2) и (11.1.4) дает
= 4"р+?кр о (Ly +4ли 5 ^akdv (11Л-6)
a
И
(р -г ik • v)7ak = -^l Фк*к • Vv/ao- (11-1.7)
a
Можно сразу получить решение этих уравнений, подставляя /ак из (11.1.7) в (11.1.6):
___________4пдт ехр ( — гк*Хр)_____________ __
фк =
4л?т ехр( — ik-xj) .Qv
(2я)3 &2 (р_|_ jk*v') D (к, ip) • U1-1*0;
Истинный потенциал ср (х, ?), возникающий в плазме вокруг пробной частицы в точке х' (t), может быть получен в пределе ? оо из уравнения (11.1.8), описывающего процесс одевания пробной частицы. Если величипа иЯЬ достаточно велика, то за время между кулоновскими столкновениями пробной частицы вокруг нее успевает образоваться экранирующее облако, описываемое уравнением (11.1.8) при ?-*- оо. Асимптотическое решение
фк (t оо) можно получить из (11.1.8), выполняя обратное преобразование
Лапласа:
Р0+г°°
<ЫМ) = 4г і
P0-і OO
I V 4я чт ехр ( — tk-x^) ехр (Pjt) ... .
f Zj (2я)3 в (Р} + гк • V') (dD/dp) L . ‘ j J
440
ГЛАВА И
Входящие сюда величины Pj являются решениями уравнения
D (к, ipj) = 0.
Они соответствуют плазменным волнам и подробно изучены в гл. 8. Для движущегося пробного заряда плазма представляет собой диэлектрическую среду с проницаемостью D (k, ip). Этот заряд взаимодействует с нормальными модами Pj1 которые представляют собой нули функции D (k, ip).
При t оо член еріг обращается в нуль, поскольку волны в плазма затухают по Ландау и действительные части Pj отрицательны, так что
е*з% — exp [i Im (Pj) t] exp [Re (pj) t] 0.
С учетом сказанного потенциал, создаваемый отдельной частицей, движущейся в плазме со скоростью у', равен
где х' (t) = X0 + у7 есть положение пробной частицы в момент времени t. Функция распределения плазмы в присутствии пробной частицы дается выражением
, і 4я?г Qa j- Г _________k'vVfa0_________х
Za-Zaoi- (2я)з та e““ ) IflD (к, k-v') (k-v —k*v'— ie)
X exp (ik*x) exp (— ik-x') dk, (11.1.11)«
B котором
a
Предельный переход є + О определяет контур интегрирования Ландау,, проходящий ниже полюса. (Такойконтур мы подробно рассмотрели в § 4 гл. 8.)
В модели пробных частиц плазма представляется состоящей из совокупности отдельных некоррелированных одетых частиц, распределенных в фазовом пространстве х, v в соответствии с /а0, причем каждая дает потенциал, определяемый выражением (11.1.10). Пробные частицы взаимодействуют со всей плазмой, рассматриваемой как жидкость, но не с отдельными ее частицами. Каждая частица плазмы ведет двойную жизнь. С одной стороны, она играет роль пробной частицы, движущейся сквозь жидкость. С другой стороны, она является частью этой жидкости и, следовательно, участвует в экранировке остальных пробных частиц. Такая картина открывает наглядный путь для вычисления (с точностью до 1 /пХЪ) флуктуаций полей и плотности, а также иных свойств плазмы, для которых существенна дискретность частиц. Интересно сравнить электростатические потенциалы, создаваемые пробными частицами, движущимися с различными скоростями.
1.1. Экранирование медленно движущегося пробного заряда (и'<С If у*Т ilm-)’ При Ut YYiTiImI С хорошей точностью можно принять, что
D(k,k.Y')-l-2 du,
а
где *)
.Fao= j б (ц — Щ-) foody.
х) Подразумевается, что функция распределения /а0 = /а0 (у2).— Прим. ред.
ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
441
Обращение выражения (11.1.8) дает
^ = ехр[-1х~х'1 (-2°^ J TiJf-^r2] =
а
а
В максвелловской плазме
F -I т Vn r-m"uV2xT"
величина
T-^rduYm
а
представляет собой дебаевский радиус экранирования
, /Ki “рагоа \1/2
а
В общем же случае произвольного (устойчивого) распределения Fao (и)• величина
(-S H^)"'2
а
определяет эффективный радиус экранирования. Используя (11.1.10) и (11.1.11), для возмущения плотностей электронов и ионов получаем
naqa j Zaidv= (-^r«4« j ^^-du) ф.
Отсюда можно сделать вывод, что в экранировании покоящейся частицы электроны и ионы с одинаковыми температурами принимают равное участие.
1.2. Экранирование быстрого пробного заряда (г/ > УкТе/ше)
В этом случае диэлектрическую проницаемость D можно приближенно записать в виде
а потенциал вокруг пробной частицы, находящейся в точке х', согласно-
(11.1.10), равен
= tiJft = -x-x[-v7| ¦ (11.1.13).
где qT — заряд пробной частицы.
Таким образом, пробная частица, движущаяся со скоростью, значительно превышающей тепловую скорость частиц плазмы, совсем не экранируется1).
