Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
a
При выводе данного условия пренебрегалось величиной COpj по сравнению с CDpe. Таким образом, двухтемпературное максвелловское распределение неустойчиво по отношению к волнам, распространяющимся в «холодном» направлении, электрический вектор которых ориентирован в «теплом» направлении.
Скорость, с которой нарастают эти возмущения, можно определить непосредственно, зная нули функции (9.10.10), которая имеет вид
(9-1015)
Подставив сюда распределение (9.10.13), можно получить дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в двухтемпературной максвелловской плазме:
к%<? -0)2 + 2 <0j« ( 1 - = 2 (&*), (9.10.16)
—1 N 1 aXf 1 ах
где
?а — '
^x Уах!та
OO
/7/t \ 1 (* ехр ( X2) dx
Z(U== УЯ J " -F=-Sa
— OO
L
Функция Z (5), часто встречающаяся в теории устойчивости плазмы, табулирована Фридом и Конте [11]. В предельных случаях она дается рядами:
Z(I) =
213
4|5
В случае Та± — Tax и I |а I Э> 1 дисперсионное уравнение (9.10.16) превращается в уравнение со2 да wj + к2с2, описывающее световые волны в плазме.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
389
Неустойчивость, вызываемая анизотропией плазмы, имеет гораздо более низкую частоту. Если Tal Ф Tax, решение уравнения (9.10.16) можно найти при \%а К 1.
В пределе 5а С 1 уравнение (9.10.16) принимает (в пренебрежении величиной о2 кіс2) вид
= 1Ы«‘-
а
Приближенное решение этого уравнения (в пренебрежении ионным вкладом, поскольку те ть) записывается следующим образом:
M/lf-jffe-1 -?)- (9.10.17)
Эта мода, существующая лишь в анизотропной плазме, апериодически либо нарастает, либо затухает. Неустойчивыми (нарастающими) являются волны, для которых выполняется условие
причем в силу предположения I ?а I <С 1 величина к подчиняется условию I (д/кхУTiTexIme |<С !• Инкремент обращается в нуль при кх = 0 и кх = к0 и максимален при [12, 13]:
CD
г, макс
Задача 9.10.4. Покажите, что в изотропной плазме с Tel = Tex уравнение (9.10.16) не имеет неустойчивых решений ДЛЯ I ?а |<С 1-
Если распределение имеет сильную анизотропию, так что (обмане, определяемое выражением (9.10.18), превышает величину кхУ TiTexImet то нарушается приближение | ?а | 1, при котором это выражение полу-
чено. Следовательно, выражения (9.10.17) и (9.10.18) более не применимы. В случае сильной анизотропии неустойчивыми становятся волны, для которых |? |^>1. В этом пределе дисперсионное уравнение (9.10.16) при Tx*С Tі. (здесь мы опустили индекс, обозначающий сорт частиц) принимает следующий вид:
2 /»2 і ,л*___LzL Ь2 *Тх .
к2хс2 -f (Jd2pe = — сO2e к2х
кТ х со2т(
Отсюда мы имеем
і ,-,л / \ / ^xKT х1™е \ */2 /q ,If4 у| о\
CD= Ztuope (-JT7) (Т?с>+М, ) • (9.10.19)
ире
Следовательно,
X \ 1/2 ? KTx \ 1/2
Z11 \ 1/2 ? кТх \ 1/2
йі.макс = ^)^) Ь#) ‘
Выполнение неравенства | со | | кх \YKTxImei где о> определяется выра-
жением (9.10.19), возможно лишь при сильной анизотропии
VV,
390
ГЛАВА 9
Эти результаты показывают, что анизотропия давления приводит к неустойчивости с максимальным инкрементом, равным со* (Ope (ит1с).
Этот вывод справедлив не только для двухтемпературного максвелловского распределения. Результаты (9.10.16) — (9.10.19) верны и для распределения, в деталях отличающегося от двухтемпературного, но имеющего анизотропную эффективную температуру, значение которой в направлении ; определяется равенством
\уСТ}= J -у mvjf d\.
Например, большая эффективная температура T1 может возникнуть за счет двух встречных холодных (с T= Tx) электронных потоков, распространяющихся со скоростью и0 на нейтрализующем фоне. В этом случае (см. задачу 9.10.5) устойчивость определяется уравнениями (9.10.18) и (9.10.19), в которых KT1 = lI2Tnul и Tx=T.
Интересные данные о существовании таких неустойчивостей были получены с помощью моделирования на ЭВМ [13], при этом удалось проследить за траекториями большого числа заряженных частиц с анизотропным начальным распределением по скоростям. Результаты показали, что в соответствии с изложенной здесь теорией электрические и магнитные поля экспоненциально нарастают, причем инкременты согласуются с (9.10.19). На фиг. 178 приведены результаты моделирования неустойчивостей на ЭВМ для двух начальных распределений плазмы. Кривые на фиг. 178, а демонстрируют неустойчивость максвелловского распределения, а на фиг. 178, б — встречных электронных потоков. Влияние неустойчивости иллюстрируется зависимостями TxHT1 = Ty от времени. Заметим, что неустойчивость приводит
я б
Фиг. 178. Результаты моделирования на ЭВМ развития электромагнитной неустойчивости
в анизотропной плазме [13]. а — вначале плазма имеет двухтемпературное максвелловское распределение с Ту > Tx; со временем флуктуации поля 6Bfi растут, а температуры Tx и Ту уравниваются; б — плазма образована двумя движущимися навстречу друг другу (в направлении у) холодными электронными пучками (Тх: = 0). Неустойчивость ведет к тому, что часть кинетической энергии направленного движения пучков переходит в тепловую энергию. В работе [13] обсуждаются также асимптотические (при t -* оо) состояния.
