Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
3. Критерий Пенроуза есть необходимое и достаточное условие существования электростатических неустойчивостей. Поскольку диэлектрическая проницаемость (9.6.3) определяет отклик плазмы только на электростатические возмущения, критерий Пенроуза отвечает на вопрос, устойчиво или неустойчиво распределение F0 (и) лишь в отношении электростатических волн. Метод Найквиста, однако, может быть использован для определения нулей любого уравнения G (со) = 0.
4. Поскольку критерий Пенроуза применяется к распределению fe0 + + (IneImi) ft о, для создания горба (и близлежащего минимума) в случае ионного пучка требуется гораздо больше частиц (ионов), чем электронов в случае электронного пучка.
5. Распределение может быть двугорбым и все же устойчивым. Это показывает, что теорема Гарднера (об устойчивости одногорбого распределения) дает достаточное, но не необходимое условие устойчивости.
Задача 9.6.3. Покажите методом диаграмм Найквиста, что распределение F0 с точкой перегиба dF0/du | Uq = d2Fldu2 |U()= 0, O3FIdu3 |Uq < О, но не имеющее минимума (кроме как при и ±оо), устойчиво.
Полезно привести результаты применения критерия Пенроуза к некоторым конкретным распределениям. Вывод этих результатов предлагается читателю в виде задачи.
Распределение
^ M = -2Г [ (и-а)* + Д2 + i(u+a)2 +Д* ] (9.6.13)
(где Д — тепловая скорость и а — скорость потока) устойчиво, согласно критерию Пенроуза, при а < Д. Однако F (и) является одногорбым (и устойчивым по теореме Гарднера) лишь при а < Д/]/3. Таким образом,
а < Д (необходимое и достаточное условие для устойчивости по критерию Пенроуза),
А т. (9.6.14)
а < —=. (достаточное условие для устойчивости по теореме Гарднера).
V3
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
377
Задача 9.6.4. Выведите критерий устойчивости (9.6.14) для распределения (9.6.13).
В качестве второго примера использования критерия Пенроуза можно рассмотреть устойчивость смещенных относительно друг друга максвелловских распределений ионов и электронов (фиг. 171)
і 1/2__/ TYle (U— Uq)2
exP ( MT
'>.=ЫЫ'/2»р(-Ш-
(9.6.15)
Результат Пенроуза состоит в том, что при Te = Ti система устойчива,
если
/г уСГ
и0<С 1,31/ ------- (условие УСТОЙЧИВОСТИ при T = Te=Tі). (9.6.16)
F ше
При таком значении и0 распределение (9.6.15) является двугорбым. Для плазмы с Те^> Ti критерий Пенроуза для распределения (9.6.15) приводит к совершенно иному условию:
U0 С
У Tnl
(условие устойчивости при Te » Ti).
(9.6.17)
Задача 9.6.5. Выведите условия устойчивости (9.6.16) и (9.6.17) и покажите, что F (и) при выполнении (9.6.16) может быть двугорбой.
Таким образом, плазма с распределением (9.6.15), в которой Te Ti, становится неустойчивой при гораздо меньшей токовой скорости, чем плазма с одинаковыми температурами электронов и ионов; критерий Пенроуза показывает, что устойчивость плазмы зависит от отношения температур электронов и ионов. Что происходит, когда условие устойчивости так резко меняется при изменении распределения (в данном случае — при изменении TeITi)? Метод Найквиста не дает ответа на этот вопрос. При TeITi^ 1 могут быть две возможности:
1) в плазме возникает новая мода;
2) мода плазмы, устойчивая при Te = Ti, становится под влиянием горячих электронов неустойчивой.
Заметим, что, если и0 ]/ кТJme, то неустойчивость, предсказываемая
критерием Пенроуза, является двухпотоковой, условие существования
Фиг. 171. Функции распределения ионов и электронов, соответствующие потоку горячих электронов, движущемуся сквозь фон холодных ионов со скоростью, меньшей тепловой.
скорости электронов.
378
ГЛАВА 9
которой мы вывели в § 3 настоящей главы. При Te = Ti критерий Пенроуза показывает исчезновение этой моды при уменьшении и0. Причина того, что критическое для устойчивости значение и0 столь чувствительно к отношению температуры TeITil может быть найдена, если продолжить анализ устойчивости собственных колебаний, начатый в § 3 настоящей главы.
^ 7. ИОННО-ЗВУКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Из анализа собственных колебаний изотропной плазмы (§ 6 гл. 8) следует, что ионно-звуковые волны распространяются в плазме с Te/Ti^> 1 почти без затухания, в то время как при Te = Ti их затухание велико. Это наводит на мысль, что ионные волны могут начать раскачиваться под влиянием довольно медленного потока электронов, если их температура Te достаточно высока, так что затухание, обусловленное тепловым разбросом максвелловских скоростей электронов, будет мало по сравнению с нарастанием, вызываемым потоком. Чтобы показать это, нужно вычислить диэлектрическую проницаемость плазмы с распределением (9.6.15).
Действительно, для того чтобы получить неустойчивость ионно-звуковых волн, предположим, что электроны движутся со скоростью U0 относительно ионов, распределение F ао дается формулой (9.6.15) и неустойчивые волны удовлетворяют неравенствам
оV к
I COr
T
> /Ir*
___ (9.7.1)
В определяемом этими неравенствами интервале, с одной стороны, лежат фазовые скорости ионно-звуковых волн, а с другой стороны, фигурирующее в критерии Пенроуза распределение F имеет локальный минимум.
