Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. Функция F (и) с одним минимумом
Пусть F (и) имеет единственный минимум при и = и0:
При таком условии F (и) должна иметь два локальных максимума; в противном случае F не будет стремиться к нулю при больших значениях и, что противоречит поведению физически реализуемых распределений. Обозначая положения этих максимумов через Ui и и2, причем при U1 имеется абсолютный максимум, как показано на фиг. 170, а, и записывая D в виде
можно построить диаграмму Найквиста, вычислив величину Dr при со = (| k I U2j I к I U1 и I к I и0). Очевидно,
поскольку F (U1) есть максимальное значение F (и). Кроме того, справедливы, разумеется, выражения
где п= 0, 1, 2, . . . . Поэтому можно сделать вывод, что D > 0 в рассматриваемых точках так же, как и при U1. В двух других точках со = | k | и0 и о = I к I U2 величина Dr может быть либо положительной, либо отрицательной в зависимости от | к | и деталей поведения F (и). Ho поскольку, как это видно из фиг. 170, a, F (со = | k | и2) > F (со = | к | U0), должно выполняться неравенство
Поэтому диаграмма Найквиста имеет вид, изображенный на фиг. 170, б, причем без потери общности предполагалось U1 <. U0 < U2 (см. задачу 9.6.2).
Задача 9.6.1. Докажите неравенство (9.6.10).
Задача 9.6.2. Постройте диаграмму Найквиста и найдите критерий устойчивости, если абсолютный максимум, минимум и локальный максимум находятся соответственно в точках U11 U0 и U2, причем имеет место неравенство U2 < U0 < U1.
dF
ди
I U=UQ
— *>0 ди2 U=U0^
(9.6.8)
-OO
при
(O=IkIu1, со = I k j U2, со=-|к|и0, со= ± оо,
Dr ((D=IkIu1) = I + ^ j
— OO
Z)r( —оо) = 1, Dr (+ оо) = C2ltin,
(9.6.9)
Pr ((о = I к I щ) < Dr ((о = I к I и2).
(9.6.10)
х) Или в некоторых точках пересекает саму себя.— Прим. ред.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
375
а
б
•Фиг. 170. а — функция распределения с двумя максимумами и б — соответствующая
диаграмма Найквиста.
,Диаграмма Найквиста показывает, при каких условиях распределение F0 (и) устойчиво (неустойчиво). В точке I D (со = Au0) меньше (но может быть и больше) нуля; в точке a D (оз = ки2) больше (но может быть и меньше) нуля в зависимости от F0 (и) и ft.
Из фиг. 170 можно видеть, даже не имея каких-либо дополнительных 'Сведений о F, что, если Dr (о = | к | и0) > 0, плазма устойчива; если Dr (о = I к I и2) < 0, плазма также устойчива по отношению к волне с данным к. Неустойчивые волны существуют тогда и только тогда, когда
OO
P(F)= f —^^-du<C 0 (неустойчивость). (9.6.11)
J \и—uO г
-OO
Это условие называется критерием неустойчивости Пенроуза, а функция P(F)—функцией Пенроуза. Здесь функция F имеет вид
Если критерий Пенроуза выполнен, то существует некоторое значение к, для которого Dr (со = I k | и2) > О и Dr (со = | к | и0) < 0. В этом можно убедиться, заметив, что если (9.6.11) выполнено, то
Dr (со = ки0) 1 при & оо
и
Dr (со = ки0) ->* —оо при /с 0.
Поэтому при некотором значении к = к0 функция Dr (со = | к0 | и0) обращается в нуль. А поскольку Dr (со = | k | и2) > Dr (со = | к | м0), то диаграмма Найквиста для | k | ^ | к0 | имеет форму кривой, приведенной на фиг. 170, б, и предсказывает неустойчивость. Критерий Пенроуза (9.6.11) определяет устойчивость любых распределений с минимумом при и = U0; иными словами, он определяет устойчивость многогорбых распределений. Очевидно, что критерий Пенроуза представляет собой условие, накладываемое на равновесную функцию распределения.
Если распределение удовлетворяет условию (9.6.11), то оно будет неустойчивым только в некотором интервале волновых чисел к, в котором вели-
376
ГЛАВА 9
чина Dr (со = I к I и0)<С 0, Dr (со — | к | M1) > 0. Этот интервал может быть найден из диаграммы Найквиста:
OO OO
wpe J ц2)2 du < к2 < COp с J Uq)2°^ du, (неустойчивость). (9.6.12)
-OO -OO
Критерий Пенроуза приводит к нескольким интересным выводам:
1.Если в функции распределения F имеется дырка, т. е. в некотором интервале скоростей Ди около U0 нет частиц, то, согласно критерию Пенроуза, F неустойчива, поскольку F (и) — F (и0) > О при всех и. Следовательно, удаление частиц даже из тонкого слоя пространства скоростей приводит к неустойчивости. Однако такая неустойчивость является слабой, а интервал фазовых скоростей неустойчивых волн сог/1 к | — узким.
2. Если (9.6.11) выполнено и, стало быть, F (и) неустойчива, добавление частиц в тонкий слой пространства скоростей при и = U0 не приведет к стабилизации системы. Добавляя такие частицы, можно добиться выполнения неравенства F (и) — F (и0) < 0, но тогда F будет иметь минимум не в одной точке, а в двух соседних точках U0 ± г и система останется неустойчивой. Чтобы стабилизировать двухпотоковую неустойчивость в случае распределения, представленного на фиг. 158, а, необходимо заполнить почти весь провал в пространстве скоростей. Следует заметить, что добавление частиц в некотором интервале скоростей все же стабилизирует волны, фазовые скорости которых принадлежат этому интервалу.
