Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кролл Н. -> "Основы физики плазмы" -> 158

Основы физики плазмы - Кролл Н.

Кролл Н., Трейвелпис А. Основы физики плазмы — М.: Мир, 1975. — 526 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifizikiplasmi1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 226 >> Следующая


/(Z) Z-Zy

Следовательно, /' (z)// (z) В точке Zj имеет простой полюс с вычетом, равным -Ij1 т. е. порядка полюса функции /. Никаких других сингулярностей величина /7/ не имеет.

Поэтому

здесь —число простых нулей, a ^jlj— число простых полюсов функ-

i j ции / (z).

Интегрирование (9.6.1) особенно упрощается во многих случаях, для которых справедливо условие

|мів«<ге-Щч_^о, (9.6.2)

О

где to = I со I eiQ. Данный интеграл описывает вклад в (9.6.1) от верхней полуокружности большого радиуса, показанной на фиг. 167. В этих случаях число неустойчивых мод может быть найдено, если проследить за изменением фазы D (со), когда частота со пробегает вещественную ось от —оо до +оо, поскольку тогда

( • Г < ,

J D do) J D dm D(со—>—оо) ’

С — CO

так что отношение D (оо)/D(—оо) определяет N.

Лучше всего проиллюстрировать этот метод на примерах. Согласно

(9.3.2), при вещественных со диэлектрическая проницаемость D (о) = = Dr + Wi дается формулами

— оо

сOpe dF I

к2 ди |u=G)/|k| ’

P1 (to)= _Я ^e-1 (9-6-3)

в которых

Отсюда видно, что Di обращается в нуль при о = ± оо (поскольку F-+- О при и —± оо), так же как и при любом другом значении со/к, при котором dF (соlk)/d (со/к) обращается в нуль. Из (9.6.3) можно видеть, что Dtt 1 — С0рв/(02 при I (О I -V оо. Поэтому мы имеем

I dD
372

ГЛАВА 9

Следовательно, условие (9.6.2) выполняется, и число неустойчивых мод, соответствующих нулям D (&, со), дается равенством

дг= * In _^(оо).. (9.6.4)

2 Jii D {— оо) ' '

Хотя D = 1 при о —± оо» фаза функции может быть выбрана произвольно лишь при со = —оо. Выбор фазы при о = — оо однозначно определяет фазу на +оо. Таким образом, если D при о = —оо выбрана так, что D (—оо) =1, то при со = + OO

D (+ оо) = е2піп;

здесь п — целое число, значение которого, как и D (к, со), определяется равновесными свойствами системы. В общем случае п можно найти по D (со), и (9.6.4) дает число неустойчивых мод

N = п.

Фаза 2лп может быть определена, если проследить за траекторией, вычерчиваемой функцией D (со) в D-плоскости при изменении о вдоль вещественной оси от —оо до +оо. Целое число п определяется числом оборотов траектории вокруг точки D=O. Для определения числа оборотов достаточно вычислить значения Dr в точках о0, в которых Di (со0)=0. Гораздо проще применить эту процедуру в конкретных случаях, чем о ней рассказывать. Ниже даны некоторые примеры.

6.1. Монотонно убывающая функция распределения F (и)

Пусть, как показано на фиг. 168, a, F монотонно убывает в обе стороны от максимального значения при и0:

OF ди

В этом случае интеграл по скоростям, определяющий D1 удобно записать в виде

? dF (и)/du , _ Г d \F(u) — F (со/1 k \}!du ^ F jd/du) [F (и) —F (ш/| к [)] ^

J гг — со/1 к I J и— со/1 к I J и — со/| к |

—оо — OO — OO

(9.6.5)

Теперь вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости определяются при вещественных (о следующими формулами:

в,-!-Sg- \ "‘,“’-"я,;11 du,

** L Ч'1 (9.6.6)

п __ __ dF_ I

П /с2 ди |u=G)/|k! •

Уравнения (9.6.6) можно использовать для вычерчивания траектории D (со) при вещественных о. В рассматриваемом случае распределения F (и) функция Di обращается в нуль в трех точках, а именно при со = +оо, со = —оо и (0 = I k I U0, поскольку F (оо) = F (—оо) = (dF/du)a=Uo= 0. При этих трех значениях о можно вычислить Dr из (9.6.6):

Dr (оо) = e2nin

(где целое число п подлежит определению),

Dr (-оо) = 1, (9.6.7)

Dr(co = |k|u„) = l + ^ j F\Uuo)_u^U) du> I-

= O

U0 ’ du2

<0.

U0
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ

373

Im Л

D(u>=+°o) = l б

Фиг. 168. а — функция распределения F (и), монотонно убывающая в обе стороны от средней скорости и0; б — соответствующая диаграмма Найквиста.

Диаграмма Найквиста свидетельствует (в полном согласии с теоремой Гарднера) об устойчивости распределения.

Последнее неравенство следует из того, что F имеет максимум при и = U0, так что F (и0) — F (и) > 0 при всех и. Таким образом, Di >> 0 во всех точках, где Di = 0. По значениям D в этих трех точках, в которых Di = 0, можно построить диаграмму Найквиста в основных чертах, как показано на фиг. 168, б. He обязательно вычислять точное значение D (о)=&іг0); уже из положительности этой ве личины следует, что (с учетом фазы) D (+оо) = D (—оо), поскольку кривая D (со) не замыкается вокруг начала координат.

Поэтому

U = N = O

и снова доказана устойчивость монотонно убывающего распределения—на этот раз методом Найквиста. Заметим, что поведение#(со) во всех точках, отличных от тех, где Di (о) = 0, не влияет на анализ устойчивости. Даже если диаграмма Найквиста ведет себя так, как

Фиг. 169. Диаграмма Найквиста.

Показано, что для определения устойчивости плазмы важен лишь знак Re D (CO0) в точке, где Im D (CO0) =0.
374

ГЛАВА 9

на фиг. 169 *), она предсказывает устойчивость. Метод Найквиста является мощным средством изучения устойчивости плазмы, поскольку, используя этот метод, можно предсказать устойчивость по знаку Dr при нескольких частных значениях сог/&, не решая уравнения D = 0.
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 226 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed