Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
0О = л, г0 = оо, г0 = — v0y TqG0 = —v0b. Для этих начальных условий находим
tSa=iI- (6Л-6>
и
в=у.
\ +A2Iv^b2 62
(6.1.7)
Асимптотическое значение угла рассеяния 0С при г = оо следует из решения (6.1.5), откуда
В cos (0С + a)—. (6.1.8)
Подставляя сюда начальные условия, получаем одно из решений этого уравнения, а именно 0С = я. Другое решение есть 0С = я — 2а, так как cos (я + a) = cos (я — а). С учетом уравнения (6.1.6) угол рассеяния в с. ц. м. при кулоновском столкновении дается выражением
Следует заметить, что угол рассеяния зависит только от прицельного параметра и начальной скорости и не зависит от знака силы взаимодействия.
Все частицы, налетающие на покоящуюсячастицу и пересекающие кольцо с внутренним радиусом Ъ и внешним fe + dfe, рассеиваются на угол, лежащий в пределах от 0С до 0С + сЮс. Из определения дифференциального сечения рассеяния следует, что поток частиц, рассеиваемых в телесный угол с?й, равен
do (0С) = о (0С) dQ = о (0С) 2я sin 0cd0c; (6.1.10)
здесь мы учли, что Q = 2я (I — cos 0С). Поток налетающих частиц равен
2nbdb\ в силу сохранения числа частиц имеем 2nb db = а (0С) 2я sin 0cd0c,
откуда
"№>-^57 Ж" («-I-1')
234
ГЛАВА 6
Используя выражение (6.1.9), получаем
а (0С) = (
2И|8Іп*(Єе/2)) • (6.1.12)
Последнее выражение называется формулой Резерфорда и дает дифференциальное сечение кулоновского рассеяния. В случае полностью ионизованной плазмы, состоящей из электронов и ионов одного сорта, угол рассеяния электрона, движущегося со скоростью V0, на неподвижном однозарядном ионе, согласно (6.1.9), записывается следующим образом:
•*Т—ЇД5" (в-1-13»
Удобно определить рассеяние на большой угол, или близкое столкновение, как соударение с углом отклонения налетающей частицы на 90° и больше. Прицельный параметр, соответствующий рассеянию на 90°, равен
<6ЛЛ4>
а поперечное сечение рассеяния частицы на угол 90° и больше при одном столкновении имеет вид
7 2 / \2 1,6*10-20
a90» = ^ = n(^-) » см2. (6ЛЛ5)
2. ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
ПРИ МНОГОКРАТНЫХ КУЛОНОВСКИХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
Рассеяние на большой угол при одном столкновении, рассмотренное в предыдущем параграфе, в полностью ионизованной плазме значительно менее вероятно, чем среднее отклонение на большой угол за счет совокупного эффекта большого числа малоугловых рассеяний, которые испытывает электрон при своем движении вдоль траектории. Для того чтобы продемонстрировать этот эффект, сравним сечение рассеяния (6.1.15) с сечением рассеяния электрона на полный угол 90° за счет последовательности малоугловых рассеяний.
Для нахождения сечения рассеяния при многократных кулоновских столкновениях электронов с массивными ионами, обладающими зарядом Ze1 рассмотрим электрон, который первоначально двигался вдоль оси z. В результате указанных выше слабых столкновений пробный электрон по мере своего продвижения через плазму набирает поперечную скорость. Цосле N таких столкновений
A^x= S (Д«Ъ)|. (6-2-1)
І=1
При малоугловых столкновениях величина Д (игу) мала по сравнению с начальным импульсом. Из (6.1.13) находим угол рассеяния при одном малоугловом столкновении (большой прицельный параметр)
де= (6.2.2)
Если пробная частица движется через плазму, в которой на 1 см3 приходится п рассеивающих центров, среднее отклонение будет равно нулю, поскольку каждое единичное отклонение по предположению носит случайный характер. Однако среднеквадратичное отклонение отлично от нуля, и мы имеем случайное блуждание по углу, уводящее от направления начального движения пробной частицы.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ПЛАЗМЕ
235
Рассмотрим такое движение пробной частицы, при котором она испытывает последовательность рассеяний на углы, большие некоторого минимального значения Д0Мин и меньшие некоторого максимального значения Д0Макс (причину того, почему мы ограничились рассмотрением определенного диапазона углов рассеяния, мы объясним ниже).
Среднеквадратичное отклонение угла рассеяния пробной частицы, проникающей в плазму на глубину L, имеет вид
здесь F (AG) d (AG) — число столкновений, приводящих к рассеянию на угол, близкий к AG в диапазоне углов d (AG). Рассматриваемые максимальное и минимальное значения угла рассеяния связаны с определенными прицельными параметрами, т. е. AGMaKC= 2e2/m^6MHH и AGmhh = 2e2/mulbM3LKC. Число столкновений, выраженное через прицельный параметр и расстояние L, пройденное пробной частицей, записывается в виде
поскольку оно равно числу рассеивающих центров в цилиндрическом слое длиной L, радиусом b и толщиной db. Таким образом,
Из выражения (6.2.4), которое расходится при ЬМакс—^ °°» можно понять, почему мы рассматривали рассеяние только на углы, находящиеся в диапазоне AGmskc > AG > AGmhh (что в действительности накладывает ограничение на прицельный параметр при вычислении среднеквадратичного отклонения). Такая расходимость является обычной для сечения кулоновского рассеяния на малые углы и следует из дальнодействующего характера кулоновского потенциала. В плазме данная расходимость устраняется путем следующего рассуждения: потенциал взаимодействия между пробной частицей и частицей плазмы равен не ф = —е2/г, а ф = — (e2lr) exp (—rAD), поскольку в плазме имеется дебаевское экранирование частиц. По этой причине выражение (6.2.4) справедливо только для значений прицельного параметра, не превышающих дебаевский радиус экранирования. Для больших значений Ъ угол рассеяния пренебрежимо мал. Следовательно, разумное приближение состоит в выборе
