Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
G = S-I-Gd =SWv (26)
v
где мы определили еще одну тройку векторов:
e;=e-i.dv. (27а)
Введем для симметрии четвертую тройку векторов:
d'v = ev-E. (276)
Из этих определений следует, что штрихованные тройки также биортонор-мированы:
<V< = V (28)
Умножим (27а) на d?- и (276) на -ер,, тогда
<V8_1'dv =ev-E-eH = 0HV (29)
Согласно (21), кроме определений (27), имеются еще связи:
dV = nV3t-eV=S-eV' (30а)
d'v = re2 jt • еу = ev ¦ е. (306)
Перемножив (30а) и (306), находим с учетом (29) и свойств проекционного оператора (я2 = я = я):
п.
-а
•d'v'd? = nWn-eI = eV-S-eH = Ovh- (31> Подействуем тензором е-1-я на ву и учтем (27а) и (30а):
є-і.я.е; = »^;. (32а) Аналогично, умножим d^ на • е-1- я:
= (326)
Отсюда следует, что штрихованные векторы являются собственными для тензора 8_1.я.
Направим ось z декартовой системы вдоль к, тогда из определения (3.4.6)
1 О O1
я = J — 22 = { 0 1 OL (33)
.0 0 OJ
т. е. матрица проектированная я имеет нулевое собственное значение и является поэтому особенной (не имеющей обратной). Иногда удобно считать, что я-1 существует, полагая я22 = Iim а и совершая предельный переход в ко-
а-»о
нечных формулах. Тензор я-е-1 (или е^1- я) также будет особенным — его третья строка (или столбец) в fc-системе состоит из нулей, и уравнение на собственные значения
det {я-е-1 — n~2I) = 0 (34)
имеет"нулевое решение п~2 ~ачО, п2 —» оо. Поэтому Y3 в (25) равно-—! ПРИЛОЖЕНИЕ 2ґ,1
и из (30) при v = 3 следует
я-е^ = е3-я = 0. |(35) С другой стороны, умножив (30) на к, получим:
k-d'v = k-dv = 0 (V= 1,2). (36)
В прозрачной среде е = є+ и nv = п*. Отсюда следует
(jt-e-i)+ = 8-i-rt, e'v = e* d'v = d*. (37)
Если, кроме того, отсутствует пространственная дисперсия (8=8 (а)) и, следовательно, гиротропия [8], то штрихованные и нештрихованные тройки векторов'совпадают и все они действительны (при невырожденных собственных значениях).
Углы анизотропии. Перенормируем] векторы в диадах (26) на единицу: 8V = ev/ I ev I, ev = e'J I ev |. Напомним, что норма комплексного вектора а и «угол» между векторами а, Ъ определяются так:
f а I = У а-а* = У а'-а' + a"-a", cos р = а-Ь*/\ а \ \ Ь | = "а-%*. Введем «углы анизотропии» (индексы v = 1, 2 временно опускаем):
е-л-е*
cos (е, я-е) = |в| |„.е| = I я-е I.
. . _ *. е'-я-е е'-я-е cos(e,^)=T-1^=_ir, КЗв)
1 Bv
cos2 р = cos (е, я-е) cos (e', я-е*) = е'-я-е= —5-————-= —г-
nV I е I I е I nV
(Sv == ev-8-ev = 8* COS Рз = 0).
Теперь yve'vev = Gve^ev, где Gv = yv | ev | | e'v |, так что (26) при переходе к единичным векторам принимает вид
з
G (к, со) = % Gve'vev, (40)
V=I
4nG^ = (га2 — п\) cos2 pv = га2 cos2 pv — 8V = ev-(n2rt — e)-e'y.
В изотропной поглощающей среде 8 = є_Г. Пусть г = | є | е1ф и ev = = Sv = a>v (SCv — орты декартовой системы с X3= к), тогда согласно (21), (27), (39) H1= ns= ± /е, е v = ?Cve-i<p, cos2 plj2 = е~іф, ev = | є [. При этом (40)
совпадает (14), (17).
Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров G, є_1-я и я-е-1. Напомним, что тройки е' и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в § 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина G {kt), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору ev, и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). ЛИТЕРАТУРА
1. Глаубер Р. — В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика: Пер. с англ. и франц./Под ред. О. В. Богданкевича и О. Н. Крохина.— M.: Мир. 1966, с. 91.
2. Клаудер Дж., Сударшан 9. Основы квантовой оптики: Пер. с англ./ Под ред. А. С. Ахманова.— M.: Мир. 1970.
3. Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике: Пер. с англ.— M.: Наука, 1972.
4. Арекки Ф., Скалли M., Хакен Г. и др. Квантовые флуктуации излучения лазера: Пер. с англ./Под ред. А. П. Казанцева.— M.: Мир. 1974.
5. Лаке М. Флуктуации и когерентные явления: Пер. с англ.— M.: Мир, 1974.
6. Лоудон Р. Квантовая теория света: Пер. с англ./Под ред. Г. В. Скро-цкого.— M.: Мир, 1976.
7. Ахманов С. А., Чиркин А. С. Статистические явления в нелинейной оптике.— M.: Изд. МГУ, 1971.
8. Агранович В. M., Гинзбург В. JI. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов.— M.: Наука, 1965.
9. Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики.— M.: ВИНИТИ, 1964.
10. Бломберген Я. Нелинейная оптика: Пер. с англ./Под ред. С. А. Ахманова и Р. В. Хохлова.— M.: Мир, 1966.
И. Файн В. M., Ханин Я. П. Квантовая радиофизика.— M.: Сов. радио, 1965.
12. Летохов В. П., Чеботаев В. JI. Принципы нелинейной спектроскопии.— M.: Наука, 1975.
13. Апанасевич П. А. Основы теории взаимодействия света с веществом.— Минск: Наука и техника, 1977.
14. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы: Пер. с англ./Под ред. В. JI. Стрижевского.— M.: Мир, 1978.
15. Резонансные взаимодействия света с веществом/Бутылкин В. С., Ka-план A. E., Хронопуло Ю. Г. и др.— M.: Наука, 1977.— (Современные проблемы физики).
