Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Vu = (ot)j. (4)
Перемножим эти матрицы с учетом (2):
W-Щи = (^ («Л = V'
отсюда следует, что матрицы V и U — обратные:
V-U = U-V = I. (5)
Распишем (1) по компонентам в обозначениях (3), (4):
a -4A = MfU = S VA А
з і I
или в инвариантном виде: A-U = U- А, где мы определили диагональную матрицу Л, составленную из собственных значений рассматриваемой матрицы А. После умножения на Ч~х- и на -U-1 получаем
K-I-A-U = A, A = U-A-U-K (6)
Умножение матрицы на U- и -Uназывается преобразованием подобия. Согласно (6) преобразование подобия с помощью собственной матрицы превращает матрицу в диагональную. Теперь нетрудно найти и обратную к А матрицу. Так как (A-B)-1 = B^-A1, то
A-I=U-Ar1-M-K (7)
Обращение же диагональной матрицы тривиально:
(Л-Ъ, = W1-
Иначе говоря, обратные матрицы имеют одинаковые собственные векторы и обратные собственные значения.
і Иногда удобно представлять тензор А или А~г в виде суммы диад. Диадой называется матрица, составленная из произведений компонент двух векторов по правилу ZDtfr2 cidj- Мы будем обозначать диады следующим образом: = cd.
Вместо термина диада используют также название внешнее произведение векторов (в обозначениях Дирака (§ 2.2) cd* = |е> <d|). Пусть с-с* = 1, тогда тензор ее*, действуя на любой вектор f, выделяет его составляющую 248
ПРИЛОЖЕНИЕ
вдоль «направления» с: ее*-/ = с (с*-/). Тензор сс* называют проекционным.
Пусть набор векторов ек образует полную ортонормированную систему, т. е. = o^j, efce* = X, тогда любой вектор можно представить в виде
суммы N векторов:
/ = h = (в)
к
а любой тензор — в виде суммы из Ni диад:
^ = SeMi- ?А t=e*.A.ev (9)
kl
С помощью «собственных» матриц Ч, %~х и Л можно представить А, А'1 в виде однократной суммы из «собственных» диад:
А = 2Х&A- =S aA^1- (1°)
к к
Умножир V10) на •и >ц ¦, найдем следующие выражения для собственных значений:
%к = Ьк.А.ак=(ЬґА-і.акГК (11)
Если А — эрмитова матрица, то, как уже отмечалось, Ьк = а*, ак-а*і — 6fei> так что из (5) следует {И'1).., = tUji. Таким образом, матрица IL унитарна: U'1 = ?+. При этом Л = Л* и вместо (6) и (10) имеем
А = А+= К-А.К+= SeVftV (12)
к
Собственные векторы и значения тензора Грина. Применим изложенный выше формализм к тензору G (fcco), определенному формулой (3.4.7) через тензор я, проектирующий векторы на перпендикулярную Ie плоскость, и тензор диэлектрической проницаемости є (fcco). Теперь N= 3, a fc, и и n = cfc/й являются параметрами тензоров (которые мы, как правило, опускаем). Полагая в (1) А = G-1, находимУуравнения, определяющие собственные векторы и значения G (мы будем нумеровать их индексом v, v = 1, 2, 3):
4я 4л .
(п2я — 8) • av = — «v, &v* — 8) = у- 0V (13)
Разложение Cf по собственным диадам согласно (10) и (11) имеет вид
G=S V* А» (14)
г=1
4я
^v= &v.(nujt_ e).av * (15)
Две тройки векторов av, 6V образуют два взаимных (биортогональных) базиса нашего трехмерного комплексного пространства:
^V6tX = V SetVftV=J- (16) приложение 2ґ,1
В непоглощающей среде bv = а*, а в непоглощающей и негиротропной среде векторы av действительны и образуют обычную тройку ортов, ориентация которых относительно осей кристалла зависит от to и к непосредственно через п%л, а также через зависимость 8 (ft, to). Аналогично, Xv = Xv (fca>). В изотропной поглощающей среде в = єГ, так что]
4я
X1 = X2= n2_g ' ^з =.— -J" > Е(17)
и векторы av можно выбрать действительными (а3 = Iclk = к). Согласно (14)
E=G.P = ^Xvav(bv.P), (18)
v
где P — заданная поляризация (источник поля). Умножим это равенство на 6д, тогда в силу (16)
®Л = V-Vl (19)
т. е. амплитуда поля в «направлении» в Xfl раз больше проекции поляризации на это направление. В изотропной среде эта амплитуда максимальна, если п2 же' (для V= 1, 2); при этом X ж 4л(Ys" (напомним, что здесь со Hfc — независимые величины).
Определим также функцию Грина для вектора индукции:
D = S-E=Gd-P, Gd = S-G = 4Л (п2л-е-1 — J)-1. (20)
Собственные векторы тензоров Jl-S"1 И S-1-л. Обозначим собственные значения и векторы тензора Jt-е-1 через п~2, dv, ev:
Я.8~1-dv = n^dv, ev.Jt-E-i=n~2ev, ev-d^ = ov(i. (21)
Согласно (3) и (6)
л>8= (22)
®VIX = (^)v. ^ = r^ = 5v|l«-.2, = I. (23)
Теперь G13 можно преобразовать следующим образом: GaIin = - JT)-* = — JT).0-i]-i = _ 1-)-1.0-1 =
= E Tv Vv/4"- (24)
v
_ _^_
^v = „2 _ „2 = ^ev. я. 8-1. Cfr-I • (25)
Таким образом, векторы dv, ev являются собственными и для тензора G?t а собственные значения Yv этого тензора просто связаны с собственными значениями тензора я.8-1.
Представление Gd в виде суммы диад (24) соответствует разложению свободного поля по типам поляризации. Ниже будет показано, что векторы dx и «^"перпендикулярны к, а е3 параллелен к. Слагаемые ev = 1,2 соответствуют двум собственным волнам с поперечной поляризацией D, а третье слагаемое соответствует волне с продольной поляризацией электрического поля Е. 250
приложение
Из (20) и (24) получаем второе диадное представление функции Грина для Е:
