Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
У ^ = -TTWTbT- (36)
Эта связь при b = 0 дает аномальную дисперсию, а при b = оо — нормальную.
Отметим также, что спектр (33) не содержит благодаря связи (32) максимума при 5 = со0, Ф ~ 0 (так называемая «перемычка» — см. § 1.2).
Закон Кирхгофа для ПР и РП. Формула (25) выражает интенсивность рассеянного света через показатель усиления пробной волны. Существует более общая связь между спонтанными и вынужденными эффектами, которую можно найти с помощью кинетического уравнения. В приближении заданной накачки ПР при поглощении на холостой частоте (т. е. рассеяние на поляритонах, РП) описывается следующим эффективным гамильтонианом (ср. (4.5.11), (5.4.1), (5.4.39), (6.4.1)):
м
<Гэф= 2 ojfj + э. е., (37)
j=i
fy= 21 Ciie-i^at + 2 CjtOt, (38)
Iil к г
где Zc1 = 1, ^2 = 2. Второе слагаемое в (38) соответствует поглощению холостого фотона /-й молекулой, а первое, пропорциональное амплитуде поля накачки,— рождению сигнального фотона, которое также сопровождается возбуждением 7-й молекулы.
Подставив (37) в (4.5.9), мы получим кинетическое уравнение для среднего значения произвольного оператора поля. Выберем в качестве этого оператора характеристический оператор:
X (PiPz) = Z+ (— ці, — |u2) = ехр (ції. at + iu2 ¦ at) X
X ехр (— щ* ¦ O1 — цц ¦ at). (39) § 6.6] рассеяние на поляритонах (рп) 221-
С помощью коммутаторов (4.5.16) находим следующее кинетическое уравнение для функции % =
д
Млл> + 1)- я „ dpi
+
0У / # *
— = |(— Mi • W11 + ,U2 • W21) ¦
+ — M1-W12)- -fK.c.jx, (40)
(Ief1) .=K-Iem^iY1- ApCj1^'
Ii^k1 І j
І (CO3 — CO — OJ0) + 8
3 \ л 1
ApCj2Cj2
І (CO2 — W0) -г S
- (Wo2) , = у.
і
А і Apci1 cf„ (41)
(triw. - rv<—к ? <(а>1^+8 ,
Apc ;ac:
І2°я
W1 — W0) + є '
Ap — относительная разность населенностей, со0 — собственная частота молекул и Ж0 — соответствующий ей температурный множитель.
Из (41) и (4.5.21) следуют кинетические уравнения для медленно-меняющихся первых моментов:
d <«i>*
dt
= Wii-<^1>* + W12- <«2>, (42)
d<a2>* -W21-(W1) + W22-(а2у*. (43)
dt
Образуем составные вектор и матрицу:
г = {(<ц),(а2>*}, W
I < (44)
I ««21 »22 J
тогда (42), (43) примут вид
-W = W-Z. (45)
Определим также составную матрицу вторых моментов:
+ + * ,^f }, ,40)
(N1)- = ^aUi-), (N2)11.4 = <4«2'>, ^wr2=(Oia2)*, (47)
тогда кинетические уравнения для вторых моментов, следующие из (40), можно представить в виде
^ = ^F • Ж + Ar • TF+. (48) 21(1 параметрическое рассеяние [гл. 6
Решения уравнений (45) и (48) можно выразить через одну и ту же матрицу % (t — Z0), удовлетворяющую уравнению (45) при начальном значении % (0) = I (ср. (4.5.27)):
z(t) = ^(t-t0)-z(t0), (49)
Ж (Z) = % (t - t0) - Ж (t0) ¦ Г (t - to). (50)
Матрица рассеяния (MP) U определяется матрицей % при — to = оо следующим образом:
и
f К*
I Kil U22 Г
MP связывает первые моменты выходного и входного полей: (U1)* =U ц-(a i>* + U12-(a2},
(51)
<а2>* = Cr21-(W1) + U22-(U2)*.
Из (46) и (50) следует «поляритонный» ОЗК (полагаем, что на входе сигнальные и холостые поля не коррелируют):
Ж[ = U11 ¦ (Ж, + Jfo + J) • Ui1 + U12 - (Ж2 - Jfo) • Ui2 -Jf0-I, Ж2 = U21- (N1 JrJf0ArI). U21 -г U22 - (Жг~ Jf0) ¦ Ut2 + Jf0, (52) К' = U21 ¦ (W1 + Jfo -L і) ¦ Uu + U22 ¦ (Ж2 - Jfo) ¦ U12,
где К = (а2агУ*- Пусть a + ? = l,a = «r,? = ?Z, тогда эти соотношения можно переписать в следующей форме (ср. (4.4.9)):
Ж; + a = U11 - (W1 + а) • Ui1 + U12 ¦ (Ж2 + ?) - Ui2 + + (JT0jT^)(U11-Ui1-U12-Ui2-I),
Ж'2 + $ = и21-(Ж1 + а).и11+ U22-(N2Ar^)-Ut2 +
+ (^o + ?) (U21 ¦ Ut1 - U22 ¦ Ut2 + I), (53)
К = U21 ¦ (Ж, + а). U11 + U22 ¦ (Ж2 + ?). U12 +
+ (Jir0 + ?) (U21 ¦ U11 -U22-U12). Далее, уравнение (40) имеет решение X (?) = ехр [— Jt1 -Wi (t)-fi* — ^2- Ж2 (Z) • ц* +
+ Ii1-KW-Ii2 +ц?-Я* (Z)-IU*]
при условии, что матричные функции Жъ Ж2, К удовлетворяют уравнению (48). Таким образом, в случае гауссова падающего поля выходное поле является «квазигауссовым» (см. (6.5.10)) с § 6.6] рассеяние на поляритонах (рп) 223-
Х"функцией, определяемой MP и температурным множителем:
Х' = X ) = ехр (— Mi • жі ¦ Mi — Ms • N2 ¦ М* +
+ JLii-я:'-JU2 + JLif-я:'*-JU*). (54)
Такая же инвариантность вида %-функции имеет место и для смещенного квазигауссова распределения.
Из (54) легко определяется четвертый момент, описывающий корреляцию сигнальных и холостых фотонов:
(alavaUvY = Nn-N22' + KnK* г. (55)
Полученные формулы описывают как два крайних случая ПР и РП. При ПР унитарность матрицы преобразования приводит к исчезновению последних слагаемых в (53), так что (53) совпадает с (6.5.12), (6.5.13). В случае же сильного поглощения на холостой частоте U12 = U22 = 0, так что из (52) следует
ж; = U11 ¦ (N1 + Jfo + I)¦ Ui1 -Jf0-I,
N2 = U21 ¦ (N1 -j- Jfo + I) - U+21 + Ж о, (56)
К' =U21^W1 + Жо +1)-Ui1.
При этом I C/2i I I ^u I (так как холостые фотоны излучаются лишь поверхностными слоями образца с толщиной Ct21) и относительное число совпадений холостых и сигнальных фотонов мало. г л а в а 7
