Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заменим в (6.4.3) а3 на Ebbkikb/ісь и перейдем от суммирования к интегрированию по модам, тогда уравнения для медленно-меняющихся со временем амплитуд примут вид
d Ч 1
= _ -J- ^ dz ^ dk'zw (UW) at (Wt) х
о
X ехр [і (щ + сок' — (Ob) t — i(kz + k'z — kL) z], (15)
* (UW) = (2jt)3cf = to, / б
v ' hv с \n cos pJk \n cos pjk'
где мы использовали формулу (6.1.25), приводящую к сохранению поперечных импульсов у взаимодействующих волн, так что в (15) q = qL — q. Физический смысл имеют решения при t = оо , I0 = — оо, поэтому проинтегрируем (15) по времени в бесконечных пределах:
і
(Ut) —aM(Ut0)= -Jfl U dz ^ dk'z ^ dt'au(U't') X о
X ехр [і (щ + (Ok' — соь) Ґ — і (kz + k'z — kL) z], (17)
где мы вынесли коэффициент связи W из-под знака интегрирования.
Перейдем к cogz-иредставлению с помощью фурье-преобразо-вания
a((oqz)^^^e^a(Ut). (18)
Определим, кроме того, медленно-меняющиеся вдоль оси Z амплитуды:
ам (cogz) es a ((oqz) (19)
где функция kz (cog) определяется уравнениями со = ?0?, kz = = / к2 — (f (предполагается, что к q и что в силу условия синхронизма эффективно взаимодействуют лишь волны с определенной поляризацией, распространяющиеся в положительном направлении оси z). Из (18), (19) следует
aM(ti>qz) = —L- \ dt dkzaM(Ut) ехр.{г (со — cofc) t + і [kz — kz (cog)] z}.
(20)
Вне нелинейного слоя U и © связаны законом дисперсии со = (ок, так чтоам (Ut) не зависит от t и аш (соqz) — otz. При этом 21(1 параметрическое рассеяние [ГЛ. 6
связь (20) принимает вид
oM(«gz) = v~l!3 J dkzaM (kt) б (со — щ) ехр і [kz — kz (cog)] z. (21)
Заменив dkz на da/Ukz (ukz — проекция вектора групповой скорости на ось z), находим
cogO) = aH(kt0) = ак,
(22)
v1/3ukzaM(aql) = am(kt) — ак.
Уравнение (17) с учетом (22) в левой части и (20) — в правой принимает после дифференцирования по I вид
daM((aql) w --
—-=-^7е ам (^)-
да (?ql) w (23) -J1-= — е~шам (сogZ),
IUz
A (cog) = kz (cog) + /cz (cog) — kL, 5 = col — co, g= —g, q = {kx,ky}.
Равенства (22) дают однозначную связь между наблюдаемыми во внешних (по отношению к слою) полупространствах выходными операторами ай и операторами аы (соql), поэтому можно считать, что ал непосредственно зависят от параметра I. Таким образом, в одномерных моделях с выделенным направлением в пространстве можно ввести операторные функции ofc (z):
ak(z) = vllmkza№((uqz), afc(0) = aA, ak(l) = ah. (24)
Эти функции при заданном векторе к подчиняются системе из йвУх симметричных уравнений
= (25)
luJfz
Благодаря бесконечной протяженности слоя вдоль осей х, у моды взаимодействуют попарно, амплитуда ак связана лишь со своей холостой («сопряженной») модой ak = ак.
Нетрудно найти общее решение уравнений (25):
a'= Ua+ Va+, (26)
U = е~ш!*(сЪу1 + г-A.sh Y*), V = (27)
TSS/?._AV4, p. ^JijL =
спп § 6.5] параметрическая сверхлюминесценция 209
Если синхронизм A = O имеет место для встречной холостой волны (м2< 0), то
U = е-ілг/2 [ cos yl — і —^ sin vZ
V 2Y ,
F=(у ctg 7i-«4f • (28>
7 = її-
Коэффициенты «рассеяния» слоя U, F совпадают с результатом классического расчета, основанного на (14). Отметим, что имеет место связь (ср. (2))
I U I2- I F I2 IuzZuz I = 1, (29)
которая обеспечивает вместе с формулой
I u};z I б (к - к') = I Ulrz I б (к - Je') (30)
унитарность преобразования (26).
Найдем спектральную яркость ВПР в случае вакуумного начального состояния и прямого взаимодействия волн. Из (27) с учетом (30) следует
= = (31)
Таким образом, как и в случае квантового усилителя с полной инверсией населенностей, интенсивность спонтанного излучения параметрического усилителя в фотонах на моду равна коэффициенту усиления (без единицы — см. (29)). Плотность потока фотонов в моде F в диспергирующей среде равна концентрации фотонов NIL3, умноженной на групповую скорость и. Плотность типов колебаний в анизотропной среде согласно (3.4.34) равна g&o, = = k2/vu cos pft, так что спектральная яркость внутри кристалла связана с числом фотонов в моде соотношением (ср. (1.1.26))
ftm Jc2
SMV = SlZNls, = (32)
В результате из (31) получаем
SMV = SlW(^L)*. (33)
В направлении синхронизма
SSS = SSfsh^. (34) 21(1
параметрическое рассеяние
[гл. 6
Интеграл от (33) по частоте определяет яркость и эффективную полосу ВИР:
где ^ = PZh Aw"® — эффективная ширина спонтанного ПР (6.3.15). Согласно (35) полоса шумов параметрического усилителя света медленно возрастает с увеличением накачки — на 3% при коэффициенте усиления 10 (х = 1,82), на 83% при коэффициенте усиления IO8 (X = 10).
Полученные выражения для яркости рассеянного света справедливы, очевидно, лишь для достаточно малых (по сравнению с отношением поперечного и продольного размеров образца) углов рассеяния. При этом переход от яркости к силе света производится просто умножением на эффективную площадь сечения накачки (или образца) и на косинус угла между лучевым вектором и осью z: SPaQ л: SaaA cos 6.
Модулированная накачка и представление MMA. До сих пор мы рассматривали непрерывную накачку. Эффект ВПР может найти применение для получения коротких перестраиваемых по частоте импульсов света при накачке лазерами с синхронизацией мод, излучающих импульсы с длительностью ~10~12 с, в связи с чем представляет интерес рассмотреть влияние конечной длительности импульса накачки.
