Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В принципе все моменты выходного поля можно выразить через моменты входного поля с помощью общей формулы (5.2.7), в которой для описания спонтанного рассеяния надо все входные моды, кроме мод накачки, полагать в основном (вакуумном) состоянии. Однако условие синхронизма выделяет трехфотонные элементарные процессы, описываемые квадратичной восприимчивостью, и позволяет пренебречь вкладом нелинейных восприимчи-востей высших порядков. Это обстоятельство значительно упрощает теорию, так как позволяет исходить из эффективного гамильтониана взаимодействия (6.1.12).
' Дальнейшее упрощение достигается предположением о классичности поля накачки (при этом часть мод описывается квантовой теорией, а часть — классической) и пренебрежением изменения амплитуды и, вообще, статистики поля накачки в результате процесса рассеяния (приближение заданной накачки).
В настоящем разделе мы определим статистику поля ПР в приближении эффективного гамильтониана в первых порядках по амплитуде накачки на входе (пока не прибегая к приближению классичности поля накачки). Решения уравнений Гейзенберга при t — t0 = оо определяют операторы выходного поля через операторы входного и, следовательно, выходные моменты через входные. Мы получим ниже простые выражения для вторых и четвертых моментов, из которых в случае спонтанного ПР (когда на входе возбуждены лишь моды накачки) следует характерное для двухфотонных полей отсутствие случайных совпадений. Отметим, что при когерентной накачке с определенной фазой в поле рассеяния коррелируют не только числа фотонов, но и амплитуды сигнальных и холостых мод: <axa2)> ^= 0. Более подробно будет рассчитана скорость совпадений и соответствующая область когерентности для случая гауссовой накачки (см. также [95]). Кроме того, в настоящем параграфе будут рассмотрены возможный фото-§ 6.4] СТАТИСТИКА ПОЛЯ II ПРИМЕНЕНИЯ ПР 195
метрические применения ПР: для абсолютных (не требующих калибровки) измерений яркости света и квантового выхода ФЭУ [99].
Уравнения Гейзенберга для операторов поля. Согласно (6.1.12) W=Ih^) W123CL1Cita3 + э. е., (1)
ftlJe.fc з
W123-Ti 1C1C2C3X123 j dr elXk'r,
Xi23 = Хмз = %231 =...=1 (W1CO2CO3) : Єіе2е3,
где V — объем нелинейной области. Предполагается, что накачка квазимонохроматическая и группы мод сигнала, накачкн и холостого поля не перекрываются (0 < со2 < ®з/2 < (O1 < (O3). Условие синхронизма и симметрия кристалла обычно выделяют эффективно взаимодействующие типы поляризации, и поэтому индексы поляризации будут опускаться.
Из (1), (2.1.13) и правил коммутации (3.2.9) находим уравнения Гейзенберга:
daі . . V^ * +
-Jf- = — JWl^l + 2j ^123??,
23 (2) da2 . , X ~ * +
—± = — LM2Ci2 - r 2_j W123O-IaS'
13
Для медленно-меняющихся амплитуд ak (t) = ак (t) ехр (іщі) уравнения имеют вид
(3)
j M __v '
2 V1 * ц\ M+ M
-Jf = 2^123(0 «1
13
^123 (t) = wViZ ехр І ((o3 — (O2 — (O1).
В первом порядке теории возмущения по коэффициентам связи W находим амплитуды мод выходного поля:
і V * +
Ci1 = Ci1 -(- 2л и123а2аз,
(4)
, V * + v '
di= 02 + 2jW123flla3, 13
где
M123 = 2лб (сої + CO2 — CO3) W123,
(із)
' M / \ __M / \ s
ак = ак(оо), ак=ак(—оо).21(1
параметрическое рассеяние
[гл. 6
Решения (4) позволяют выразить выходные моменты через входные и квадратичную матрицу рассеяния (MP). Так, если на входе моды сигнала, накачки и холостого поля взаимно независимы, то с помощью (4) находим
Nu. = Nir + 2 U123U14W (N2^ + б*,) W88., (6)
N22. = Nir + 21 u123u*,2V (Nri + bri) AT33-, (7)
K12 = Z1Z2 -t- 21("* 23Nil' + uIr3N22' + u123) z3, (8)
N пт. = (.апат) = Nnm, Knm = (,Я-пйтУ = Kmn,
—
Заметим, что эрмитовость гамильтониана (1) обеспечивает сохранение коммутационных соотношений для преобразованных операторов а', и поэтому <я2ЯіУ = <Aa2)'. По предположению мы рассматриваем лишь моды, принадлежащие окнам прозрачности кристалла, поэтому статистика выходного поля не зависит непосредственно 1) от температуры вещества и чисто спонтанное излучение отсутствует (ср. § 5.3).
Спонтанное рассеяние. Пусть на входе сигнального и холостого излучения нет, тогда вторые моменты на выходе принимают вид
Nir = 21U123U* аз- Nsb,, (9)
N22- = 21 U123Uirr N3y, (10)
#12 = 21^23? =^12- (И)
3
Заметим, что ПР на частоте сигнала, описываемое выражением (9) обусловлено отличием от нуля в вакуумном состоянии антинор мально-упорядоченного момента <0 | а2а2 |0)> = 1, т. е. тем, что электрическое и магнитное поля вакуума не имеют определенного значения («флуктуации вакуума»). Согласно (И), если моды накачки находятся в когерентном состоянии с определенной фазой, то имеется корреляция между амплитудами сигнальных и холостых мод, причем момент (а^У пропорционален амплитуде накачки, а не ее квадрату, как обычные моменты (9) и (10). Фурье-образ функции v12 определяет пространственную функцию взаимной когерентности сигнального и холостого полей.
Из (4) следует, что четвертый момент поля в низшем приближении квадратичен по амплитуде накачки: