Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
3
Пусть все молекулы одинаково ориентированы и расположены в узлах правильной решетки, тогда для произвольной плавной функции / (rj) можно перейти к интегрированию:
SPi/X Jdr/(г), (10)
где мы ввели макроскопическую восприимчивость единицы объема кристалла % = ?M/F. Такая простая связь молекулярных ~178
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
[гл. 6
и макроскопических свойств верна лишь в разреженных газах; в кристаллах существенно взаимодействие молекул и отличие макроскопического (среднего по пространству) поля от действующего поля в центре молекулы.
Итак, мы исключили молекулярные переменные, и взаимодействие мод описывается теперь первым порядком теории возмущения
W12 = 2лh-2 I </' I Vj^ I О I 2S (o)1 + со2 - (o3) (И) с эффективной (феноменологической) энергией возмущения
= - X •: J dr {Е^еРеУ + ЕІ^Е^ЕЇХ (12)
V
где мы добавили слагаемое описывающее обратный
процесс I /> ->- I г> и обеспечивающее эрмитовость энергии возмущения (в области прозрачности % = %*).
Осталось найти матричные элементы операторов поля. Чтобы учесть линейные оптические свойства кристалла, воспользуемся результатами § 3.4. Пусть анизотропный кристалл заполняет все пространство, но нелинейностью обладает лишь его часть, занимающая конечный объем V. Эта модель соответствует экспериментам с «просветленными» кристаллами, не дающими отражений. Поправку на реальное отражение, а также преломление волн можно производить в конечных формулах. Из (3.4.31), (3.3.6) находим матричные элементы поля (считаем орты поляризации ек действительными):
/A'fc - 11EM (г) I Nk) =Iick УЩе"-*, (13)
(Nk + 11 E^ (г) I Nk) = - іск VK+Ї e~ik-r'
Ck == elc (HrS)kUlsV/^niCnk COS Pky/z.
Вероятность рождения бифотонов. Подставив (13) и (12) в (11), найдем, что скорость перехода | г> -> |/> пропорциональна (N1 + IXjV2 + 1)JV3; аналогично скорость перехода из | і} в [ TV1 — 1, Ar2-I, N3 + 1) пропорциональна N1N2 (N3 + 1) с тем же коэффициентом пропорциональности. В результате скорость появления (или исчезновения) пар фотонов в модах Zc1 и Zc3 будет равна
W12 = 2яй~2б ((o1 + со2 — co3)[(iV1 + iV2 + IJiV8 — N1Ns] X
XlXiCiC2C3I2Z(Afc), (14)
/(AAj) = fj dreiAk'r j2, Afc = fci + Aj2 — fc3.
V і
При спонтанном ПР по определению TV12 = 0 и скорость генерации бифотонов пропорциональна N3. Выразим Ns через поток § 6.1]
скорость генерации бифотонов
179>
фотонов накачки W3, входящих за единицу времени в нормировочный объем ZA Очевидно, что плотность потока F = A/йю равна концентрации фотонов NfL3, умноженной на вектор групповой скорости и. Полный поток через «входную» грань образца, имеющую поверхность А, равен
Ws = NsL-3Aus2 = "4%С°;°;С05Рз |<ЛГз-114+) I JVs) (15)
где u3z = и3 cos б3 — проекция групповой скорости на ось, перпендикулярную А (мы пренебрегаем фотонами, входящими в V через боковые грани), и мы использовали (13) чтобы выразить N3 через E3. В случае классического приближения поля накачки надо в (15) заменить матричный элемент на E3. Заметим, что объемы квантования L3 и образца V независимы (но L3 включает V). Отношение (14) при Nlt2 = Ok (15) имеет смысл вероятности превращения одного вошедшего в нелинейный объем фотона накачки в пару фотонов:
Pu s w» ^ (W.C03 6 к + Ю2 _ йз) f (ДЛ)і (16)
где X = 1 : е^звд и h = п COS б cos р.
Дифференциальная скорость рождения бифотонов. Отношение (16) безразмерно, так как мы разбили поле на дискретные моды. Чтобы перейти к непрерывному fc-пространству, надо разделить, вероятность распада P12 на объем V2 одной пары мод в U1 X к2-пространстве:
Л D 1#. \ D
(17)
dP (Ic1Ic2) _ P12
dkidk2 V2
Функция распределения (17) имеет размерность см6.
Параметры реальных детекторов, расположенных в дальней зоне по отношению к рассеивающему объему, удобнее задавать в сферических координатах {%-, Qfc), где щ = av (к) и Qk = = к/к = {0?-, ф;,}. Как известно, для перехода к новым аргументам функцию распределения следует умножить на якобиан преобразования
D(klx...k2z) _ п Vki
' 11 dobdQ, ' (lb)
i=l, 2 11
D (O)1Q1(O2Q2)
Согласно (3.4.34) d3k/d(odQ = к2/ик cos pft, так что
dP _=ix TT ki м9ч
dtui Cffi1 dwo dii2 . vu, cos p.. ^ '
i=l, 2 1 1
Кроме того, надо еще учесть преломление и отражение при выходе света из кристалла в вакуум. Обозначим наружные угловые координаты волновых векторов штрихами: Й'.= {д'.ф'}, тог- ~180
параметрическое рассеяние
[гл. 6
да, чтобы перейти к наблюдаемой функции распределения, следует умножить (19) на отношения внутренних телесных углов к внешним *)
ф) _ _ cos у D (#', <р') — dQ' ~ rfi cos # ( '
и на коэффициенты пропускания выходной грани. Эти поправки мы, как правило, выписывать не будем.
Подставив (16) в (19), находим окончательно дифференциальную вероятность (с размерностью Гц_2-ср~2) превращения фотона накачки в бифотон:
dP___ZtofogM3WircaX2S ((O1 + M2 — (O3) / (Afe)
dti>i dQx du).z dQ2 4я2C7 cos2 pi cos2 p2 cos2 p3n3A '
где мы приняли, что кзх = к3у = 0 (при этом 63 = р3).
Введем также дифференциальное сечение распада фотонов накачки на кристалле в целом, равное скорости рождения пар при единичном потоке падающих фотонов F = 1. Обычно углы анизотропии малы (cos р a 1), так что F3 гг; WsZA и из (21) следует
