Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
AiV1 = 2 Mt [-П (Arx + TV2 +1)- N1N9], (19)
где Jtli = 8Re It1221. Эту формулу можно получить элементарно методом Эйнштейна, рассматривая две моды и добавляя к вероятности переходов вниз по одному лишнему фотону для учета флуктуаций вакуума:
^r = ¦~ Pa (N1 + 1) (Ni + 1) - P0N1N2 =
= (Pc-Pa) [Жо (N1 + N2 + l)-N1N2] (20)
(здесь ра и рс = р0 ехр Hco0ZxT — населенности верхнего и нижнего уровней соответственно).
Формула (19) описывает четыре типа двухфотонных переходов (см. рис. 5, г):
1) спонтанное излучение:]
(21)
(22)
(23)
(24)
(здесь предполагается, что на входе возбуждены только две моды A1 и к2). Как правило, JV0 и легче наблюдать последний эффект (24), который широко исследуется в спектроскопических, а также прикладных [153] целях. При инверсии населенности ^12 и JV0 отрицательны, и, в принципе, возможно создание двухфотонного перестраиваемого по частоте усилителя или лазера. Интересно, что за счет эффекта (23) (еще не наблюдавшегося) возможно когерентное усиление с сохранением фазы без инверсии населенностей. Эффекты (21) и (22) наблюдались в работах [22] и [154] соответственно.
Четвертые моменты. Подставив, далее, в (8) / = а\аХагах, найдем следующее выражение для четвертого момента ТИ:
<a?a2a3a4> = 4JVо (U4321 + Uf234) ~
—S (<а0 — (O1 — (O2) б (a»o — (O3 — (O4). (25)
NT = JV0^1 Ліг, 2
2) спонтанно-вынужденное излучение:
Nr1 = JV0AiiNit
3) вынужденно-спонтанное усиление:
AN1
Ni
4) индуцированное поглощение:
AiV-
JtiiJV о
= ¦—• JtnNi 168
АНГАРМОНііЗМ ii ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. 5
Обратим внимание, что здесь все четыре коррелирующие моды могут иметь разные частоты. Отметим также, что поскольку мы использовали первое приближение при решении кинетического уравнения, то молекулы вещества дают во все моменты аддитивный вклад, т. е. многочастичные эффекты не учитываются.
Для диагональных моментов из (25) следует
(aUtai^y = (-.N1N2:), = ЖоЛц. (26)
Появление корреляции между модами можно описывать и в шре-дингеровском представлении. Состояние поля в момент t в первом порядке теории возмущения по Г эф равно (ср. (5.3.12))
10 = (/ + ?tfoj) I 0) - I 0) + ? I 11>, (27)
т. е. со временем к основному состоянию добавляется примесь двухфотонного. Связанные моды (&1, ) можно считать одной степенью свободы, имеющей элементарное возбуждение с энергией % ((O1 + (O2) — «бифотон».
Двухфотонный закон Кирхгофа. Итак, согласно (9), (13) и (25) первые, вторые и четвертые моменты выходного поля выражаются через одни и те же комплексные коэффициенты U1234, т. е. через кубическую MP: Ї7'3) = I — м, которую можно измерить с помощью когерентных полей (см. (12)). Эти соотношения аналогичны обобщенному закону Кирхгофа для линейного образца (§ 4.4).
С другой стороны, формулы (19) и (26) для диагональных моментов содержат действительные коэффициенты Jtli, пропорциональные вероятности двухфотонного перехода. Л12 можно измерить с помощью некогерентных полей по любому из вынужденных эффектов (22) — (24). Результаты таких экспериментов позволяют, в принципе, предсказать тепловое двухфотонное некаскадное излучение (ср. (4.4.11а)):
V^ dNl v^ dNl n <92/V'
1=S -Щ"= S ж-1 = -L «гаг ¦• (28а) 2 2 2
„ ,S on' ON'. aw'
<: ZV1Af2:)- = - 1= - . (286)
Эти формулы выражают двухфотонный закон Кирхгофа, справедливый в условиях малой нелинейности. Интересно, что в первые две связи не входит температура вещества. Последняя связь в (286) будет использована ниже для численной оценки.
Возможна и другая постановка вопроса. Пусть TV1 = 0, тогда отношение (22) к (21), т. е. относительное приращение интенсивности на выходе при добавлении входного сигнала с «дополнительной» частотой (O2 = (о0 — (O1, определяет абсолютное число фотонов во входных модах. Если приписать единицу в (19), ответ- § 5.4]
двухфотонный закон кирхгофа
169
ственную за спонтанное излучение, действию нулевых флуктуаций, то можно сказать, что этот метод измерения яркости света основан на сравнении с нулевыми флуктуациями (см. также § 6.4).
Сравнение с однофотонным ТИ. Из сравнения (21) и (26) получаем
= (29)
2
т. е. вероятность появления фотона в данной моде A1 равна вероятности появления пары фотонов: одного в этой же моде, а другого— в любой моде с частотой w0 — W1. Формулы (26) и (29) интересно сравнить со связью между вторыми и четвертыми диагональными моментами гауссова поля:
<: JV1TV2:) = N1N2 + | N12 |2. (30)
Здесь первое слагаемое соответствует случайному одновременному появлению фотонов в любой паре мод (A1, A2); второе слагаемое отлично от нуля лишь для пар мод, принадлежащих общему объему когерентности (§§ 4.6, 4.7).
В двухфотонном ТИ случайных совпадений согласно (26) нет *), т. е. статистика этого поля существенно не гауссова. Кроме того, здесь коррелирующие моды могут иметь любое направление волнового вектора, так что поперечный масштаб взаимной когерентности неограничен (слабую угловую зависимость корреляции 2) вносят лишь тензоры % в (3)). Такой результат вполне согласуется с наглядной! картиной вылетающей из одной молекулы пары фотонов. Напомним, что в однофотонном ТИ пары возникают лишь в пределах дифракционного угла в результате двухчастичных процессов (см. (4.4.23)).
