Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клышко Д.Н. -> "Фотоны и нелинейная оптика" -> 58

Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.

Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика — Москва, 1980. — 259 c.
Скачать (прямая ссылка): fontaniinelineynayaoptika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 100 >> Следующая


вычисление моментов поля

151

Отметим также, что часто статистика ТИ макроскопических образцов, содержащих ~1023 независимых молекул, полагается гауссовой на основании центральной предельной теоремы. Однако строго гауссовость ТИ следует лишь в однофотонном приближении (§ 4.5). Как будет показано в § 5.4, двухфотонное ТИ — существенно не гауссово, что в эксперименте проявляется в отсутствии случайных совпадений фотоотсчетов, а в теории — в отличии от нуля кумулянтов более высокого порядка, чем второй (см. (3.3;42)). Другим интересным проявлением оптического энгармонизма вещества является наличие нечетных моментов поля ТИ <§ 5.3).

§ 5.2. Вычисление моментов поля

с помощью теории возмущения

Обычно в квантовой механике динамические процессы описываются с помощью вероятностей переходов, которые определяются «золотым» правилом Ферми (2.3.32). Вероятности излучения одного, двух, . . . фотонов пропорциональны диагональным моментам четного поряда (^a1), O^a1U2). . . . Однако для описания интерференционных экспериментов надо знать недиагональные моменты (аїа2), . . ., и, кроме того, как будет ясно из дальнейшего, ангармоническое вещество может излучать моменты нечетного порядка (а*а2а3).

В связи с этим мы используем вместо золотого правила более универсальный формализм, основанный на общей теории возмущения (§ 2.3). Для этого выберем в формуле (2.3.20) в качестве оператора наблюдаемой величины интересующий нас одновременный х) момент

/ (t) = O1V)... ап (t) (1)

илиТхарактеристический оператор /(?) = % (і), который после усреднения по начальному состоянию позволит вычислить любой нормально-упорядоченный момент.

Энергию взаимодействия возьмем снова в простейшем приближении — дипольном с неподвижными атомами. Объединим в (3.2.14) индексы: к = {fc, vfc, Stv), где Szcv= + I5 тогда оператор электрического поля в центре /-й молекулы в представлении взаимодействия выразится через операторы рождения и уничтожения следующим образом:)

E0 (Vjt) = — т S ClsjO0k ехр (iskakt), (2)

к

') Переход к разновременным моментам в случае свободного поля тривиален. 152

ангармоніізм ii тепловое излучение

[гл. 5

где

_ + _

oftv+ = ?fcvi ?fcv- = ^fcVi Ckvsj ?= Sl: у ехр (— ishk- Vj).

Коммутаторы для новых операторов равны

[ак, ак>] = — sko^ = — s,;6fcfc.6yv'6s7. (4)

Снова объединим индексы:

q = {;, а, к} = {/, а, к, vfc, sAv}, (5)

тогда энергия взаимодействия свободного поля с образцом в момент времени tn примет вид:

(tn) = n = ІЙ S Cgd^a/0**, (6)

і

df = (*n). = = — сз ,

(a5)+ = a-, q = {/', a, fc, vfc, — sfcv}.

Связь выходных и входных моментов. Подставив (1) и (6) в (2.3.2) и усреднив по начальному состоянию с независимыми полем и веществом, получим общее выражение для моментов выходного поля через моменты входного (т. е. начального) поля в п-м порядке теории возмущения:

п P=O

Im = S <р) 9п <а„ • • • а Ч,. . . актад . . . aQn>, (81

а. ••• в„

5n K1 • ¦ • = (- 1)р(2я)" C91.. . свп Ф {<$?> ^ (^1. . . tB)},

(9)

Фв"9n (^l • • • — ' ' • 021 •• • 9р, p-iop+i, р-)-2 • • . вга-1, п>

(10)

б {/(?!... *„)} = (2л)-»$ dfi... dfj (І!... fn) ехр і (Oit1 --... <an*n)

(И)

(если один из индексов 0-функции меньше 1, то 0 = 1).

Теория возмущений в форме (7) определяет закон преобразования моментов падающего поля образцом, т. е. полностью определяет все его оптические свойства. Заменив в (7) моменты (1) на характеристический оператор и воспользовавшись правилами коммутации (4.5.16), получим закон преобразования ^-функции. § 5.2]

вычисление моментов поля

153

В частности, полагая начальное состояние поля вакуумным, лайдем %-функцшо спонтанного поля, излучаемого образцом. Если при этом считать начальное состояние вещества равновесным с температурой T и пренебречь радиационным охлаждением, то спонтанное излучение переходит в тепловое. Далее, если в падающем излучении возбуждена одна мода, то (7) описывает рассеяние света, как упругое, так и комбинационное. В случае когерентного состояния падающего поля и т = 1 (7) определяет последовательность матриц рассеяния СД™> через равновесные моменты образца. ?Л2> при этом, естественно, совпадает с (4.6.15). ?Л3> описывает эффекты сложения и вычитания двух частот, включая удвоение и оптическое выпрямление. ?Л4> описывает преобразование трех частот и т. д.

Полученные соотношения не учитывают многие существенные факторы, однако мы здесь лишь стремились на простом примере подчеркнуть возможность феноменологического описания оптических свойств образца конечных размеров, которая должна сохраниться и в более реалистичных моделях.

Итак, согласно (7)—(10) вся индивидуальность образца заключена в иерархической последовательности матриц и^пр\ которые являются фурье-образами функций корреляции для дипольных моментов ф(пр), «усеченных» с помощью 8-функций. Это усечение обеспечивает причинную последовательность взаимодействий во времени и формально эквивалентно замене преобразования Фурье на преобразование Лапласа. В спектральном представлении умножению на 8-функцию соответствует свертка с 0 (щ) (см. 2.4.7а). Для краткости эту операцию будем называть преобразованием Гильберта (хотя последнему отвечает лишь 1-е слагаемое в (2.4.7а)). При п > 3 в (10) имеется п — 1 8-функций, чему соответствует многомерное преобразование Гильберта (случай п = 3 см. в [152]). В результате моменты поля (т. е. его спектральные функции) оказываются пропорциональными гильберт-образам спектральных функций молекул, что и приводит к превращению дискретного спектра молекул в сплошной спектр многофотонного спонтанного излучения.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed