Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вывод ОЗК по Ланжевену. Соотношение (2) между входными и выходными операторами поля в случае одинаковых ящиков квантования можно рассматривать как унитарное преобразование, т. е. как смену базиса в гильбертовом пространстве поля (§ 2.2). Унитарность преобразования обеспечивает сохранение нормировки волновой функции (что необходимо ввиду ее вероятностного физического смысла) и сохранение коммутационных соотношений. Из (2) следует
Iav а'*] = [&!, 6+] + JfliUii = 612, (24)
з
[a'v а'г] = ?&х, 62] = О,
где мы приняли, что операторы а и 6 коммутируют, так как они действуют в различных гильбертовых пространствах — поля и вещества. Условие унитарности (24) в векторных обозначениях можно написать в виде [o, o+] = = I — U*. U, где [а, Ь]ы = aiibі — 6;%.
Операторы % относятся к свободному пространству и поэтому изменяются в представлении Гейзенберга по гармоническому закону; очевидно, и ланжевеновы операторы 6/,- также должны быть гармоническими функциями времени. Пусть падающее излучение достаточно слабое, так что нет эффектов насыщения, тогда вещество можно считать равновесным и должно выполняться соотношение (2.4.25):
<6+6, > = -JIT1 <[6+ Ь2]>. (25)
Отсюда с учетом условия унитарности (24) получаем ОЗК (7).
§ 4.5. Вывод ОЗК с помощью кинетического уравнения
Использованные выше найквистовский или ланжевеновский методы не могут считаться строгими. В связи с этим мы воспользуемся здесь методом кинетического уравнения (§ 2.5), который близок к марковскому подходу.
Тепловое излучение и кинетическое уравнение. Впервые простейшее кинетическое уравнение для поля было использовано еще Эйнштейном при выводе формулы Планка. Кинетическое
х) Логичней было бы в настоящей главе моделировать молекулы гармоническими осцилляторами, однако оптические уровни атомов и молекул сильно неэквидистантны. <130
тепловое излучение в линейном приближении [гл. 4
уравнение типа (2.5.5) для матрицы плотности поля, взаимодействующего с веществом — термостатом, рассматривалось Ше-ном [150] и другими авторами в случае одномодового поля. Строго говоря, такой анализ описывает изменение во времени статистики поля внутри добротного резонатора с неперекрывающимися модами. Переход от характерного для квантовой механики временного описания к пространственному возможен лишь при непрерывной совокупности мод. Следующий ниже анализ является модификацией метода Шена для свободного пространства. Отметим, что он охватывает и случай, когда «образцом» является резонатор с полупрозрачными зеркалами, внутри которого имеется нагретое вещество.
Существенно, что поскольку нас интересует свободное поперечное поле вне образца, то физический смысл имеет стационарное решение кинетического уравнения при t -V оо. Падающее поле задает начальное состояние при t0—>- —оо. Заметим, что так как образец ограничен в пространстве, то это решение описывает не равновесное поле с температурой вещества, а ТИ. Иначе говоря, мы с помощью кинетического уравнения описываем нагрев термостатом — веществом другого термостата — электромагнитного вакуума. Бесконечная теплоемкость последнего предотвращает выравнивание температур.
Кинетическое уравнение для /-функции. Будем исходить из дипольного приближения для энергии взаимодействия поля и вещества:
M
W=-Jdi-E(Ti). (1)
Здесь dj — оператор дипольного момента й молекулы, a rj — координата ее центра. Пусть в (2.5.1) Жа — гамильтониан свободного поля (нормировочный объем теперь включает образец) и SfC ъ — гамильтониан вещества без учета поперечного поля. Из сравнения (1) и (2.5.11) следует соответствие
fj-*Ea(r}), Fj —> d-a. (2)
Разложим поле по плоским волнам согласно § 3.1. В представлении взаимодействия (индекс представления опускаем)
E (rt) = і Ji + э. с. (3)
к
(фазовый множитель ехр (i(okt0) включен в определение операторов ак, Cfc = ekYJiakV^n). Теперь (2.5.18) принимает вид
^ ik-Vj + ^ -ik-Vj
ET (Vjt) =^ Cfta j ^nIiI ^-іг - cdJL - «k - ге }' (4) § 4.5]
вывод озк из кинетического уравнения
131
где индексы п, т нумеруют собственные состояния невозмущенного вещества в целом. Если пренебречь взаимодействием молекул за счет кулоновских сил или перекрывания электронных орбита-лей, то гамильтониан вещества аддитивен и его собственные функции факторизуются:
где индекс Tlj нумерует состояния /-и молекулы (приближение (5) необязательно для дальнейшего).
В результате из (2.5.22) находим следующее кинетическое уравнение для произвольного оператора поля g (без учета нерезонансных слагаемых):
Напомним, что все операторы надо брать в представлении взаимодействия (как и матрицу плотности, по которой ведется усреднение). Следует обратить внимание на то, что в отличие от уравнений Гейзенберга в кинетическое уравнение входят уже усредненные величины. Здесь слагаемые, пропорциональные коэффициентам w, содержат разности населенностей и описывают вынужденные эффекты, а слагаемые, пропорциональные коэффициентам w, содержат населенности возбужденных состояний pm = ApnmJVmn и описывают спонтанные эффекты. Явный вид коэффициентов таков:
