Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Приводимый ниже интегральный подход позволяет избавиться от проблем, возникающих при решении дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных производных. Рассмотрим элементарный объем, который начинается на стенке и простирается в направлений оси у, выходя за пределы пограничного слоя (рис. 4.7). Причем он имеет толщину dx в направлении оси X и единичную ширину в направлении оси г. Для получения зависимостей для результирующего количества движения и результирующего количества энергии, вносимых в объем, поступим таким же образом, как и при выводе уравнений пограничного слоя в предыдущем разделе.
Через поверхность AB (рис. 4.7) передается поток количества движения
б
$ P«2 dy.
о
Аналогично через поверхность CD передается поток количества движения
б б
\ ри2 dy + (d/dx) \ ри2 dy dx.
Конвективный теплообмен 193
Однако жидкость поступает в элементарный объем также через
6
поверхность BD с расходом (d/dx) ^pudydx. Эта величина яв-
о
ляется разностью между расходом, вытекающим через поверхность CDt и расходом, втекающим через поверхность AB. Так как жидкость, поступающая в объем через поверхность BD, имеет составляющую скорости в направлении оси х, равную скорости внешнего потока V00, то через эту верхнюю поверхность в элементарный объем в направлении х поступит поток количества движения б
V00 -^\$pw dy dx.
9
Суммируя все составляющие потока количества движения вдоль оси х, получаем б
-*-\9u4ydx-
О
б
~v~iL\pu dy dx=
0 Рис. 4.7. Элементарный объем в лами-
, o нарном пограничном слое, рассматривае-
= а \ Qu(V _tl) du мы** ПРИ выводе интегральных уравне-
dx J к v 00 ' и' ний сохранения.
На поверхности BD касательное напряжение отсутствует, так как эта поверхность находится вне пограничного слоя, и du/dy = 0. Однако существует касательная сила трения xWy действующая на поверхности раздела жидкости и твердой стенки, а также имеются силы давления, действующие на поверхности AB и CD. Записывая все силы, действующие на элементарный объем, и суммируя их, получаем соотношение
pxb-(px + ^dx)o-Twdx = -o^dx-xwdx. (4.15)
При обтекании плоской пластины градиентом давления в направлении оси X можно пренебречь, и тогда уравнение количества движения можно переписать в следующем виде:
б
^ \ Pu(Vx -u)dy = xw. (4.16)
0
Интегральное уравнение энергии можно получить аналогичным способом. Однако в этом случае при выводе должен
7 Зак. 487
194 Глава 4
использоваться элементарный объем, выходящий за пределы как теплового, так и динамического пограничного слоев (рис. 4.8). В соответствии с первым законом fepMOAHHaMHKH энергию еле-, дует рассматривать Ё виде внутренней энергии (энтальпии), кинетической энергии й теплоты, а также работы сил трения. При низких скоростях члены, учитывающие кинетическую энергию и работу сил трения, малы по сравнению с другими членами, и ими можно пренебречь. Тогда увеличение энтальпии
Динамический пограничный слой O
Рис. 4.8. Элементарный объем в диламическом и температурном пограничных слоях,
элементарного объема за счет втекания жидкости через поверхность AB будет составлять
^ CppuTdy,
а ее снижение за счет вытекания жидкости через поверхность CD
ys ys
^ СрриТ dy СрриТ dy dx.
о о
Увеличение энтальпии элементарного объема за счет втекания жидкости через верхнюю поверхность равно
d Г
И наконец, теплота, подводимая вследствие теплопроводности через поверхность раздела жидкости и твердой стенки, составит
дТ
k dx (-??- )
Конвективный теплообмен 195
Суммируя все эти величины, получаем интегральное уравнение сохранения энергии в виде
ys ys
CpT00-hVud^dx^"h\Tudydx~kdx(^f) _0 = 0' (4-17)
Следует отметить, что за пределами теплового пограничного слоя температура равна температуре невозмущенного потока T009 и поэтому интегрирование следует проводить только до у = 6*. Уравнение (4.17) при этом упрощается и принимает вид
Ц(Т^Т)иау^а(^)у^0. (4.18)
Это уравнение обычно известно как интегральное уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя при низких скоростях течения.
4.4. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ И ТРЕНИЯ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ
Первым шагом в приближенном интегральном методе расчета является представление распределений скоростей и температур в виде степенных рядов — полиномов. При выборе коэффициентов этих рядов должны удовлетворяться граничные условия. Предположим, что распределение скоростей описывается степенным рядом из четырех членов:
u(y)=a + by + cy* + dy\ (4.19)
Выбор коэффициентов проводим с использованием следующих граничных условий:
при у = 0: и = 0 и поэтому а = 0,
u = v — 0, и поэтому из уравнения (4.11) получаем д2и/ду2 = 0, при у = б: и —Vоо и ди/ду = 0.
Эти граничные условия позволяют получить четыре уравнения для расчета четырех неизвестных коэффициентов в зависимости от скорости невозмущенного потока и толщины пограничного слоя. Легко показать (см. задачу 4.14), что этим граничным условиям удовлетворяют коэффициенты
а = 0, 6 = 4^, *-0. d---?-.
Подставляя их в уравнение (4.19) и приводя его к безразмерному виду путем деления на скорость невозмущенного потока
