Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Градиент скалярной величины, такой, как температура, является вектором, т. е., согласно векторной записи закона Фурье (2.86), плотность теплового потока q" — это вектор. Обычно мы не рассматриваем плотность теплового потока как вектор, поскольку она имеет размерность мощности на единицу площади, а ни одна из этих величин не является вектором. Однако удобно вообразить, что тепло «течет» в некотором направлении; по-часто называют вектором плотности тепло-
Рис. 2.15. Векторы плотности теплового потока (обозначены чертой сверху) и их геометрическая связь с изотермами.
этому величину q вого потока.
Вектор плотности теплового потока обладает важным геометрическим свойством, присущим градиентам: он направлен по нормали к изотерме, линии постоянной температуры, во всех точках твердого тела. Для иллюстрации этого свойства на рис. 2.15 показаны несколько изотерм и типичных векторов плотности теплового потока в точках Л, В и С твердого тела. Длина каждого из трех векторов плотности теплового потока пропорциональна местному градиенту температуры. Это значит, что в области тесного расположения изотерм градиент велик и плотность теплового потока также велика. В области, где расстояние между изотермами больше, плотность теплового потока соответственно меньше. На рис. 2.15 плотность теплового потока в точке А больше, чем в точке ?, где градиент температуры меньше.
Стационарная теплопроводность 85
Поскольку мы считаем плотность теплового потока векторной величиной, она должна обладать всеми свойствами векторов. Следовательно, можно разложить вектор плотности теплового потока на составляющие в направлении осей координат. Выражения для этих составляющих вектора можно найти, исходя из формы градиента. В прямоугольной системе координат вектор плотности теплового потока выражается следующим образом:
Следовательно, плотность теплового потока в направлении х равна
Аналогичными соотношениями описываются составляющие вектора плотности теплового потока в направлениях у и г.
Тепловой поток в направлении х через плоскую поверхность P1 лежащую в плоскости (у, г), равен
Индекс P означает, что в каждой точке поверхности нужно найти производную температуры, а затем уже проводить интегрирование по поверхности.
Графический метод
Часто невозможно получить точные аналитические решения уравнения теплопроводности для двумерных или трехмерных задач. В случаях когда решение задачи аналитическими методами найти трудно, можно использовать приближенные методы. Из них сравнительно простым является графический метод, который позволяет определить тепловой поток с поразительной точностью.
Графический метод основан на геометрическом представлении векторной формы закона Фурье, согласно которому изотермы и линии постоянной плотности теплового потока (^-линии) должны пересекаться только под прямым углом. Следовательно, можно нанести изотермы и линии постоянной плотности теплового потока и корректировать их, пока не будет удовлетворяться условие их взаимной перпендикулярности.
Точность изображенного распределения температуры будет непосредственно определяться точностью нанесения линий. При небольшом опыте можно довольно быстро получать достаточно точные результаты.
(2.87)
ар
86 Глава 2
При использовании графического метода нужно проделать следующие операции:
Операция 1. Начертить точную масштабную модель тела, для которого нужно найти распределение температуры и тепловой поток.
Операция 2. Нанести на модели линии постоянной плотности теплового потока (#"-линии) и изотермы. Во всех точках пересечения <7"-линий и изотерм касательные к этим кривым должны быть взаимно перпендикулярны. Диагонали криволинейных четырехугольников должны быть взаимно перпендикулярными и делить друг друга пополам. Следует помнить, что соседние изотермы и <7"-линии не могут пересекаться. Изотермы перпендикулярны адиабатическим границам, поскольку каждая адиабатическая граница является линией постоянного теплового потока (<7"==0). Кроме того, адиабатическими границами являются линии симметрии.
Операция 3. Корректировать изотермы и #"-линии до тех пор, пока не будут удовлетворяться условия операции 2.
Когда вы сами будете удовлетворены точностью вашего рисунка, можно считать, что распределение температуры получено, после чего плотность теплового потока вычисляется, как обычно, с помощью закона Фурье. Чтобы проиллюстрировать графический метод решения, рассмотрим задачу определения теплового потока через несущую двутавровую балку в стенке печи. С двух сторон балка окружена изоляцией, расположенной в стенке печи (рис. 2.16, а). Температура поверхности балки, обращенной внутрь печи, равна Ти а температура наружной поверхности балки T2. Коэффициент теплопроводности материала балки равен k.
Средняя линия балки является линией симметрии и, следовательно, адиабатической границей. На рис. 2.16,6 показаны линии постоянной плотности теплового потока и изотермы на масштабном чертеже балки.
Тепло течет по четырем каналам, ограниченным с каждой стороны ^"-линиями. Следовательно, суммарный тепловой поток через половину балки равен
