Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
dx \х dx
х+Лх +RePbC[T (X)-TJ,
где P — периметр ребра. Разделив все члены на Ал: и перейдя к пределу при Дл;->0, получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно температуры:
4J-TT [T (X)-TJ = O. (2.65)
Уравнение (2.65) можно привести к безразмерному виду, вводя безразмерную температуру 6(*) = [T(х)— T00]/(Tb — T00) и безразмерную линейную координату g = x/L, где Тъ — температура основания ребра (л; = 0). В новых переменных уравнение (2.65) записывается следующим образом:
!>_і?іе = 0. (2.66,
Безразмерный комплекс (R0P'L2JkA) можно упростить, приведя его к форме, напоминающей число Био. Произведение периметра на длину равно общей площади поверхности ребра, A8 = PL. В таком случае
~Г—^, (2.67)
где А — площадь поперечного сечения ребра. Комплекс, выраженный формулой (2.67), имеет размерность длины, и, следовательно, его можно рассматривать как характерный линейный размер ребра / = PL2JA. Теперь можно выразить безразмерный комплекс, входящий в уравнение (2.66), в виде
аналогичном числу Био, применявшемуся при решении предыдущих задач сложного (кондуктивного и конвективного) теплообмена. Следовательно, число Био для ребра имеет вид
kA hnPL* ----V
76 Глава 2
г-(ВІ)в-=0. (2.70)
Можно было ожидать появления в какой-либо форме числа Био в задаче о переносе тепла в ребре, поскольку в этой задаче совместно действуют теплопроводность и конвекция.
Безразмерное уравнение переноса тепла в ребре (2.66) можно теперь записать, используя число Био:
dl
Решение уравнения (2.70) выражается соотношением
Є (I) = d*-<Bi>1/2 * + С2е<в»112*. (2.71)
Значения двух постоянных интегрирования можно определить, как только будут заданы два граничных условия. Чаще всего известна температура основания ребра Ть\ запишем это в виде граничного условия:
Т(0) = Ть. (2.72)
Это соотношение будет служить первым граничным условием. Возможны несколько вариантов второго граничного условия. Рассмотрим три наиболее часто встречающихся граничных условия.
Случай I. Очень длинное ребро, такое, что температура на его торце равна температуре окружающей среды:
T(L-^Oo)=T009 (2.73)
или 8(1) = 0.
Случай II. Ребро с теплоизолированным торцом при x = L:
4? L-0- (2-74>
или IfIl-,=0-
Случай III. Ребро с конвективным отводом тепла от поверхности торца. В этом случае граничное условие имеет вид
и dT dx
= R0[T (L)-T J, (2.75)
Используя граничное условие (2.72) и одно из трех граничных условий (2.73)-(2.75), мы получим три различных распределения температуры в ребре постоянного поперечного сечения.
Если распределение температуры в ребре известно, можно найти суммарный тепловой поток, отводящийся от ребра. Про-
Стационарная теплопроводность 77
ще всего найти этот тепловой поток, рассчитав кондуктивный тепловой поток через основание ребра:
^ = -kA^\x==-^{Tb-TJ^ (2.76)
1 = 0
Теперь определим распределение температуры в ребре и тепловой поток, отводящийся от ребра, при задании каждого из трех граничных условий.
Случай I. Для ребра бесконечной длины распределение температуры определяется выражением
Но длина ребра является неопределенной, поэтому удобнее найти распределение температуры по х:
Q {х) = TW-/" = «Г VV**/". (2.77)
Тепловой поток выражается формулой
Ьеб = л/hcPkA (T6 - TJ = VET (T ь - TJ. (2.78)
Случай II. Для ребра с теплоизолированным торцом распределение температуры имеет вид
n/f\_ T (І) - T00 _ ch [(Bi)1/2 (l - і)] ,
в«)—f^r ^ . (2-79)
а тепловой поток от ребра определяется соотношением
<7реб= (Bi)"2 -?1 (Ть - TJ th (Bi)1/2. (2.80)
Случай III. Для ребра с конвективной теплоотдачей на поверхности торца распределение температуры выражается формулой
T (E) - T00 _ ch [(Ві)'/2(1 - і)] + (Bi)1'2 (A/PL) sh [(Bi)1/2 (1 - і)]
Hl)
Ть - Tx ch (Ві)1/2 + (Ві)1/2 (AjPL) sh (Ві)1/2
(2.81)
а тепловой поток определяется следующим образом:
„ _/ШШ2Ы (T-T \A (Bi)'/2+(Bi)1Z2WPL) Ch(Bi)1/2 (9М. 9реб-(Ві) — (T0-TJ ch(Bi)./2+(Bi)1/2WPi)sh(Bi)i/2- (2-82)
Пример 2.8. Ребро из нержавеющей стали = 20 Вт/(м-град)] с круглым поперечным сечением имеет диаметр 2 см и длину 10 см. Ребро установлено на стенке, температура которой 300°С. Температура окружающей среды 50°С, коэффициент конвективной теплоотдачи 10 Вт/(м2-град). Торец ребра теплоизолирован. Найти: а) тепловой поток от поверхности ребра; б) температуру торца ребра; в) тепловой поток от поверхности, занятой основанием
78 Глава 2
ребра, если бы это ребро отсутствовало; г) тепловой поток, отдаваемый этим же ребром, если нержавеющую сталь заменить гипотетическим материалом с бесконечно большим коэффициентом теплопроводности.
Решение. Распределение температуры в ребре и тепловой поток от его поверхности выражаются соответственно формулами (2.79) и (2.80). Прежде всего рассчитаем характеристики ребра:
А = кR2 = п (0,01)2 = я • Ю-4 м2, ш_ hJ>L* = 10» я-0,02^(0,1)2 ^10
kA 20-я- Ю-4
Ы = 20-я- 10~4 ^ ^283 Вт/граДв
а) Тепловой поток равен
<7реб e (Bi)1/2-^- (Tb - T00) Xh (Bi)1'2= 1,0.0,06283 (300—50) th (1,0)=11,96 Вт.
б) Температура торца ребра равна температуре при | « 1
