Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Если при выводе уравнения теплопроводности в прямоугольной системе координат (разд. 2.2) предположить, что величина коэффициента теплопроводности переменна, то уравнение (2.5) примет вид
Для стационарного одномерного распределения температуры в прямоугольном твердом теле при отсутствии внутреннего тепловыделения уравнение (2.47) упрощается и сводится к следующему:
ТИ-0- (2-48>
Прежде чем перейти к решению этого уравнения, следует знать закон изменения коэффициента теплопроводности от температуры k (T) в рассматриваемом диапазоне температур. Для многих материалов можно получить достаточно точные результаты, предполагая, что существует линейная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры,
k(T) = k0(l+m, (2.49)
где ? — постоянная.
Интегрируя уравнение (2.48) по ху получаем
k (T) ^ = C1. (2.50)
Стационарная теплопроводность 67
В установившихся условиях через стенку течет постоянный тепловой поток. Применяя закон Фурье, находим
q" = -k(T)?. (2.51)
Сравнивая соотношения (2.50) и (2.51), видим, что
q"=-C{.
Подставляя соотношение (2.49) в уравнение (2.50) и проводя интегрирование по х, получаем
k0 (т + $^)=С{х + С2.
Значения двух постоянных интегрирования можно найти, задав два граничных условия. Предполагая, что температуры граничных поверхностей твердого тела известны (рис. 2.3), получаем граничные условия:
T(O) = Tu T(L) = T2. Теперь можно определить значения постоянных Ci и Сг:
с.=1г[(г2-г.)+т(71-г?)]' с2=к0(т1+^).
В таком случае распределение безразмерной температуры в стенке имеет вид
T2^r1 - T + 2 ІУ2 + Гі) T + T2-T1 J • (2'52)
Профиль температуры в плоской стенке с переменным коэффициентом теплопроводности нелинеен, но если коэффициент теплопроводности постоянен, т. е. ? = 0, распределение (2.52) сводится к линейному распределению (2.24).
Плотность теплового потока через стенку определяется соотношением
Я" = - C1 = - [(Г2 - T1) + \ (71 - Tf)],
которое можно переписать в форме
?"=*»(l+?^)^.
Величина в скобках — это значение коэффициента теплопроводности при средней температуре стенки:
з* Та = {Т% + Тх)/2.
68 Глава 2
Коэффициент теплопроводности при Тт равен
*« = Ml+?(r2+ 7-,)/2].
Применяя km, получаем простое выражение для плотности теплового потока:
qff= ImSI^zJjL t (2.53)
Соотношение (2.53) имеет особенно удобную для расчетов форму. Оно показывает, что плотность теплового потока через стенку, коэффициент теплопроводности которой линейно зависит от температуры, можно вычислить по формуле, полученной для случая постоянного коэффициента теплопроводности, если коэффициент теплопроводности принять равным значению при средней температуре двух поверхностей стенки.
Если коэффициент теплопроводности материала стенки цилиндра или шара линейно зависит от температуры, можно аналогичным образом найти профиль температуры и тепловой поток для этих тел. Подробный вывод мы оставляем для самостоятельных упражнений (задачи в конце главы).
Тепловой поток через цилиндрическую стенку с линейно изменяющимся коэффициентом теплопроводности и заданными температурами граничных поверхностей определяется формулой
_Tj-Jo_ 4 In (r0/ri)/2nkml •
а для стенки шара
(г0 — Гі)/4пктг0Гі
где km = ko[l+&(Ti+T0)/2].
Теперь мы видим, что полученные ранее выражения для теплового потока через плоскую, цилиндрическую и шаровую стенки с постоянным коэффициентом теплопроводности применимы и в случае переменного коэффициента теплопроводности, если в этих выражениях использовать значение коэффициента теплопроводности при средней температуре стенки.
Если зависимость коэффициента теплопроводности от температуры нелинейна, можно показать, что тепловой поток можно представить с помощью закона Фурье, записанного в форме закона Ома: q = kT/Rm, где Rm — среднее термическое сопротивление твердого тела. Независимо от геометрии твердого тела среднее термическое сопротивление рассчитывается по среднему коэффициенту теплопроводности тела, определенному соотношением
T1
Стационарная теплопроводность 69
где Т\ и T2 — температуры на граничных поверхностях твердого тела, т. е. AT = Ti — T2. В таком случае среднее термическое сопротивление для плоской стенки определяется по формуле
Rm — LjkmA, для цилиндрической стенки — по формуле
и для стенки шара — по формуле
Rm = (r0 — ri)l4nkmrjTi.
Пример 2.6. Большая плоская стенка имеет толщину 0,35 м. Температура одной поверхности 350C, второй 115°С. Известны лишь два значения коэффициента теплопроводности материала стенки: к = 26 Вт/(м-град) при O0C и k — 32 Вт/(м-град) при 100°С. Найти плотность теплового потока через стенку, предполагая, что коэффициент теплопроводности линейно зависит от температуры.
Решение. Средняя температура стенки равна
т T1+ T2 35+ 115 7-ор Tm=-2-=-2-^75 С-
Средний коэффициент теплопроводности можно найти с помощью линейной интерполяции между двумя заданными значениями:
32 — km 100 — 75 32-26 ~~ 100 — 0 *
Отсюда km = 30,5 Вт/(м-град). Плотность теплового потока через стенку находится следующим образом:
2.5. ОДНОМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ
