Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Vn^-=-?. (2.18)
Для общей нестационарной трехмерной задачи в цилиндрических координатах T — Т(г9ф,г,і). Цилиндрическая система
54 Глава 2
координат показана на рис. 2.2а. Если выражение для лапласиана подставить в уравнение (2.18), общее уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид
1 д Ґ дТ\ Xd2T д2Т ц? _ 1 дТ
Если нестационарная температура в цилиндре изменяется в одном направлении, т. е. T = T(r, t), то для этого частного
случая уравнение теплопроводности упростится:
дТ\ q%' 1 дТ г дг V дг J+ k а dt '
(2.20)
Далее, если температура постоянна по времени и изменяется только в радиальном направлении, уравнение теплопроводности сводится к следующему:
Отметим, что температура, определяемая уравнением (2.21), зависит теперь только от переменной г и это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением.
Когда внутреннее тепловыделение отсутствует, а температура зависит только от радиуса, стационарное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах принимает вид
т ('#)-«• <2-22>
Пример 2.2. Выразить стационарное распределение температуры и тепловой поток для цилиндра длиной / через две постоянные интегрирования. Температура зависит только от радиуса, внутреннего тепловыделения в цилиндре не происходит.
Решение. В условиях задачи применимо уравнение (2.22)
4('S)-'
После первого интегрирования по радиусу получаем
г (dT/dr) = C1
или
aTIdr и CxIr.
В результате второго интегрирования находим
T = Cx In г + C2.
Стационарная теплопроводность 55
Постоянные интегрирования можно определить, как только будут заданы два граничных условия. Тепловой поток через поверхность цилиндра произвольного радиуса г выражается формулой
Q = -kA~ ==-k (2nd) -^ = - 2ZkIC1. dr г
Заметим, что в установившихся условиях тепловой поток через любую цилиндрическую поверхность является постоянной величиной.
Сферические координаты
Для тела сферической формы, когда температура зависит от трех координат и времени, т. е. T = Г (г, 0, ф, t)y общее уравнение теплопроводности с учетом генерирования энергии записывается в виде
г2 dr V dr
+
sin 8
w{sinQw) +
+
1
дт*
г2 sin2 в дФ2
+
(г.в.Ф)
Рис. 2.26. Сферическая система координат.
Сферическая система координат показана на рис. 2.26.
Из уравнения (2.23) можно получить упрощенные
уравнения для одномерной стационарной теплопроводности и одномерной нестационарной теплопроводности в сферических координатах. Эти упрощенные уравнения предлагается вывести в качестве упражнения.
2.3. ОДНОМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ
Применим уравнение теплопроводности для решения задач, в которых температура зависит только от одной линейной координаты. Примем, что в прямоугольной системе координат температура будет зависеть только от л:, а в цилиндрической и сферической системах координат — только от радиуса. Предполагается, что коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, а тепловыделение отсутствует.
Применим общую методику решения, состоящую из двух этапов. На первом этапе из решения соответствующего упрощенного уравнения теплопроводности находится распределение температуры. С этой целью отыскивается аналитическое решение дифференциального уравнения второго порядка. После тргр
56 Глава 2
как решение дифференциального уравнения записано в общем виде, с помощью двух граничных условий определяются две постоянные интегрирования. На втором этапе с помощью закона Фурье вычисляется кондуктивный тепловой поток через твердое тело.
Прямоугольные координаты
Стационарное одномерное распределение температуры в прямоугольной плоской стенке при отсутствии внутреннего тепловыделения описывается упрощенным уравнением теплопроводности
d2T/dx2 = 0.
Решение этого дифференциального уравнения с использованием двух ^T(L)=T2 постоянных интегрирования C1 и C2 имеет вид (см. пример 2.1)
Т(х) = С{х + С2.
Рис. 2.3. Одномерная задача теплопроводности в прямоугольных координатах и граничные условия.
Значения этих постоянных можно найти, если заданы два граничных условия. Предположим, что в качестве этих условий заданы температуры на двух поверхностях стенки (рис. 2.3): Т{0)= Tx и T(L)=T2. Применяя эти граничные условия, получаем следующее распределение безразмерной температуры стенки:
т (х) - T1 T2-T1
X
L
(2.24)
Следовательно, температура изменяется линейно по х. Тепловой поток через стенку определяется законом Фурье:
4 — kA%-kAb=±
(2.25)
Тепловой поток на единицу площади называется плотностью теплового потока и обозначается q". Двойной штрих означает, что величина <7 рассчитана на единицу площади. Для плоской стенки
„„_ д _ k (T1-T2) 4 ~ А — L
Если записать соотношение (2.25) в форме закона Ома:
дг дг
Стационарная теплопроводность 57
то термическое сопротивление плоской стенки, как отмечалось в гл. 1, выражается формулой
Rt~TA'
(2.27)
Материал 2
ш.
Кондуктивный тепловой поток через плоскую стенку обусловлен, перепадом температур поперек стенки, и его распространению противодействует термическое сопротивление, пропорциональное толщине стенки и обратно пропорциональное коэффициенту теплопроводности стенки и площади ее поперечного сечения.
