Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Если температура материала не зависит от времени, задача становится стационарной и аккумулирования энергии в материале не происходит. В таком случае уравнение стационарной трехмерной теплопроводности записывается в прямоугольных координатах следующим образом:
д2Т д2Т д2Т q'"
Если задача не только стационарная, но и не происходит тепловыделения внутри материала, то уравнение теплопроводности упрощается еще более и принимает вид
д*Т , дЧ , д*Т foqv
Это уравнение, называемое уравнением Лапласа, встречается в различных областях науки.
Если в установившихся условиях при отсутствии тепловыделения рассматривается одномерная задача, т. е. температура зависит только от координаты х9 уравнение теплопроводности становится обыкновенным дифференциальным уравнением
0. (2.10)
Безразмерная форма уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности, записанное в форме (2.6), является размерным. Часто удобнее переписать это уравнение таким образом, чтобы каждый член стал безразмерным. Выполнив это, мы найдем безразмерные параметры, определяющие процесс теплопроводности. Приведем одномерное уравнение теплопроводности (2.4) к безразмерному виду, вводя безразмерную температуру
Q = TITn (2.11)
безразмерную пространственную координату
l = x/Lr (2.12)
и безразмерное время
т = фг. (2.13)
Величины ТГу Lr и tr — это характерные значения температуры, длины и времени соответственно. Выбор характерных значений произволен, хотя, когда задача полностью определена, нужно выбирать значения, имеющие физический смысл. Вместо отношения температур обычно удобнее применять относительную
52 Глава 2
избыточную температуру; выбор безразмерных параметров изменяется от задачи к задаче. Безразмерные параметры часто выбирают таким образом, чтобы их значения изменялись в удобных пределах, например от 0 до 1. За L, обычно принимается максимальная координата х в системе, для которой находится распределение температуры.
Подставив определенные таким образом безразмерные величины температуры, линейной координаты и времени в уравнение (2.4), получаем безразмерное уравнение теплопроводности
dl2 + kTr ~~ ЮГ дх • (2Л4)
Безразмерный параметр atr/L2r называется числом Фурье и обозначается символом Fo:
Fo = a/r/L'. (2.15)
Выбор характерных значений времени и длины, входящих в число Фурье, изменяется от задачи к задаче, но функциональный вид соотношения между ними остается неизменным. Число Фурье всегда равно коэффициенту температуропроводности, умноженному на время и деленному на квадрат характерной длины.
Число Фурье представляет собой отношение скорости кон-дуктивного переноса тепла к скорости аккумулирования энергии в материале. Число Фурье является важным безразмерным критерием в задачах нестационарной теплопроводности, и оно часто будет фигурировать в ходе дальнейшего изложения.
Вторым безразмерным параметром в уравнении (2.14) является член, включающий тепловыделение. Будем применять безразмерный параметр тепловыделения qGi определяемый формулой
п'" Ї Z
(2.16)
Этот параметр представляет собой отношение количества тепла, генерируемого внутри тела за единицу времени, к количеству тепла, перенесенного теплопроводностью через рассматриваемый объем в единицу времени.
Итак, одномерное уравнение теплопроводности записывается в безразмерной форме следующим образом:
Пример 2.1. Найти упрощенную форму общего уравнения теплопроводности для установившегося одномерного кондуктивного переноса тепла в прямоугольном твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения. Решить полученное уравнение
Стационарная теплопроводность 53
теплопроводности и выразить распределение температуры в твердом теле и тепловой поток через постоянные интегрирования.
Решение. Общее уравнение теплопроводности имеет вид
. ( д2Т , д2Т , д2Т \ , ,„ дТ
Поскольку рассматривается одномерная стационарная задача, температура не зависит от времени и является функцией только одной из трех линейных координат. Если предположить, что T зависит только от х, то dT/dt=d2T/dy2= = d2T/dz2 = 0. Кроме того, поскольку отсутствует внутреннее тепловыделение, qG = 0,
Уравнение теплопроводности в упрощенной форме записывается следующим образом:
O2TJdX2 = 0.
Интегрируя дважды это дифференциальное уравнение второго порядка, находим распределение температуры, выраженное через две постоянные интегрирования Ci и C2:
T = CiX + C2.
Значения этих двух постоянных определяются для конкретной задачи из двух граничных условий.
Кондуктивный тепловой поток через твердое тело в направлении х определяется законом Фурье:
q — — kA —j-^ = — kACx.
Отметим, что тепловой поток является однородным в соответствии с примерами 1.1 и 1.2, т. е. в установившихся условиях он остается одинаковым во всех точках твердого тела.
Цилиндрические координаты
Уравнение теплопроводности в форме (2.6) применимо только для прямоугольной системы координат. Члены, выражающие тепловыделение и аккумулирование энергии, инвариантны относительно системы координат, но члены, выражающие результирующий кондуктивный тепловой поток, зависят от геометрии и, следовательно, от системы координат. Зависимость от принятой в задаче системы координат можно исключить, если выразить кондуктивные члены с помощью оператора Лапласа. Форма лапласиана различна для различных систем координат. В приложении I представлена форма лапласиана для прямоугольной, цилиндрической и сферической систем координат. С использованием лапласиана уравнение теплопроводности записывается следующим образом:
