Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Общее уравнение теплопроводности учитывает аккумулирование энергии внутри материала. Согласно законам термодинамики, внутренняя энергия материала возрастает при повышении температуры. Следовательно, количество энергии, аккумулированное в твердом теле, увеличивается, если температура повышается со временем, и уменьшается, если температура соответственно снижается. Если температура материала остается постоянной, энергия не аккумулируется, и тогда мы говорим, что имеют место стационарные условия.
Проблемы теплопередачи подразделяются на несколько основных категорий в соответствии с тем, от каких переменных зависит температура. Если температура не зависит от времени, задачу называют стационарной, или установившейся. Если температура зависит от времени, задачу называют нестационарной, или переходной. Кроме того, задачи классифицируются по числу пространственных координат, от которых зависит температура. Если температура зависит только от одной координаты, задачу называют одномерной. Если температура зависит от двух или трех пространственных координат, ее называют соответственно двумерной или трехмерной. Если температура зависит от времени и координаты х в прямоугольной системе координат, т. е. T = T(x,t), то мы имеем дело с одномерной нестационарной задачей. Если T= T(г, 0) в цилиндрической системе координат, то мы рассматриваем двумерную стационарную задачу.
Прямоугольные координаты
Чтобы упростить вывод уравнения теплопроводности, рассмотрим одномерную прямоугольную систему координат (рис. 2.1) и предположим, что температура твердого тела зависит толькд
Стационарная теплопроводность 49
от координаты х и времени, т. е. T = T(x,t). Кроме того, предположим, что и коэффициент теплопроводности k, и плотность р, и удельная теплоемкость с твердого материала постоянны. Влияние переменности коэффициента теплопроводности k рассмотрено в разд. 2.4.
т=т(х, о
Тепловыделение q?Abx
Постоянны» свойства /с, р, с
q(x + Kx)
Рис. 2.1. Контрольный объем в прямоугольных координатах.
Применим закон сохранения энергии к контрольному объему, показанному на рис. 2.1:
[Энергия, подводимая в конт-1 !"Энергия, генерируемая"] рольный объем вследствие + I внутри контрольного I = теплопроводности J l-объема J
[Энергия, отводимая из т контрольного объема , ["Энергия, аккумулированная"]
вследствие теплопровод- ' !.внутри контрольного объема]* ности J
(2.1)
Выражая два члена, обусловленные теплопроводностью, с помощью закона Фурье и обозначая через q^f интенсивность внутреннего тепловыделения в единице объема, записываем равенство (2.1) в форме
- M ? (x) + q'^AAx =-kA^(x + Ax) + 9А Axe ^. (2.2)
Разделив на объем контрольного объема AAx и выполнив несложные преобразования, получаем
дТ . ,ах дТ . ч
_(* + Д*)__(ж) дт
+ <7о = pc-gr. (2.3)
50 Глава 2
Если перейти к пределу при Ax-+ 0, первый член в левой части уравнения (2.3) станет по определению второй производной температуры по л: и уравнение примет вид
и д2Т . ,г, дТ /Г1 .ч
Уравнение (2.4) не является общим уравнением теплопроводности, так как оно выведено в предположении об одномерном распределении температуры. Если теперь снять это ограничение и считать, что температура зависит от всех трех линейных координат и времени, т. е. Г = T(xyy,ztt)y в уравнение войдут члены, аналогичные первому члену в уравнении (2.4), которые выражают кондуктивные тепловые потоки в направлениях у и z. В таком случае получаем трехмерную форму уравнения теплопроводности
Важно понимать физический смысл каждого члена, входящего в уравнение (2.5). Первые три члена в левой части уравнения выражают результирующую скорость переноса тепла в контрольный объем вследствие теплопроводности (на единицу объема). Последний член в левой части — это скорость внутреннего тепловыделения в единице объема. Правая часть уравнения (2.5) выражает скорость изменения внутренней энергии материала на единицу объема. Каждый из членов имеет размерность энергии, отнесенной к единице времени и единице объема. В системе СИ каждый член имеет размерность [Вт/м3].
Уравнение (2.5) часто применяется в форме
д2Т д2Т д2Т q'c 1 дТ
где коэффициент температуропроводности а представляет собой следующую комбинацию теплофизических свойств материала:
a = kfpc. (2.7)
Коэффициент температуропроводности имеет размерность м2/с. Численные значения коэффициента теплопроводности, плотности, удельной теплоемкости и коэффициента температуропроводности для различных материалов, применяющихся в инженерной практике, приведены в приложениях.
Нам редко приходится определять распределение температуры в твердом теле, решая общее уравнение теплопроводности (2.6), что требует решения дифференциального уравнения в частных производных. В большинстве практических задач можно сделать упрощающие предположения, которые позволяют исключить тот или иной член из уравнения теплопроводности, что
Стационарная теплопроводность 51
часто дает возможность упростить задачу и отыскание решения. Рассмотрим несколько частных случаев уравнения теплопроводности, а соответствующие примеры будут представлены в последних разделах этой главы.
