Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
я-теорема Бэкингема
Чтобы найти число независимых безразмерных комбинаций, необходимое для того, чтобы получить соотношение, описывающее физическое явление, можно использовать я-теорему Бэкингема1). Согласно этой теореме, число независимых безразмерных комбинаций из физических переменных, существенных в рассматриваемой задаче, равно общему числу этих физических переменных п (например, плотность, вязкость, коэффициент теплоотдачи) за вычетом числа основных размерных величин т, необходимых для того, чтобы выразить формулы размерности п физических величин. Если обозначить эти комбинации (комплексы) через яь я2, ..., то уравнение, выражающее связь между переменными, имеет решение вида
F(Jtx, я2, я3, .. .) = 0. (1.34)
В задаче с пятью физическими величинами и тремя основными размерными величинами п — т = 2 и решение имеет вид
F(nu я2) = 0, (1.35)
или г , ч
Я! —/(JI2). (1.36)
Экспериментальные данные для такой задачи удобно представить в виде зависимости яі от я2. Полученная эмпирическая кривая определяет функциональную связь яі и я2, которую нельзя найти на основании теории размерностей.
Для явления, которое можно описать тремя безразмерными комплексами (т. е. если /г-— т = 3), уравнение (1.34) принимает вид
F(JIu Jt29 я3) = 0, (1.37)
или оно может быть переписано в виде
Jt1 =/(я2, я3). (1.38)
1) Согласно более строгому правилу, предложенному Ван-Дристом [6], я-теорема справедлива до тех пор, пока система уравнений, полученная путем приравнивания нулю показателей степени при каждой основной размерной величине, остается линейно независимой. Если одно из уравнений системы является линейной комбинацией одного или более других уравнений (т. е. если уравнения линейно зависимы), число безразмерных комплексов равно общему числу переменных п минус число независимых уравнений.
Принципы теплопередачи 37
В этом случае экспериментальные данные можно связать, построив зависимости яі от я2 при различных значениях яз. Иногда можно скомбинировать один параметр из двух комплексов я и построить единую зависимость этого комбинированного параметра от оставшегося комплекса, как это будет показано в гл. 5.
Определение безразмерных комплексов
Опишем простой метод определения безразмерных комплексов, применяя его к задаче теплопроводности и к задаче течения жидкости.
Пример 1.10. Определить безразмерные параметры, связывающие максимальную температуру Тт в пластине толщиной L с коэффициентом теплопроводности k, если в пластине происходит равномерное тепловыделение с объемной скоростью qG , температура одной поверхности поддерживается постоянной и равной 7*1, а вторая поверхность теплоизолирована.
Решение. Сначала запишем л в виде произведения переменных, каждая из которых возведена в неизвестную степень,
а затем подставим формулы размерносіи из табл. 1.4:
««wr[#]V[Af-
Чтобы величина я была безразмерной, показатели степени при каждой основной размерной величине по отдельности должны давать в сумме нуль. Приравнивая сумму показателей при каждой основной размерной величине нулю, получим следующую систему уравнений:
а Ч- Ь — с = 0 для Г,
с -f е = 0 для M1
— 3с — Ъе = 0 для 9,
с + d — е = 0 для L.
Очевидно, что для каждого набора значений а, Ь, с, d и е, при котором удовлетворяется эта система уравнений, величина я безразмерна. Имеется пять неизвестных и только четыре уравнения. Заметим, что условия для M и 9 приводят к одному и тому же уравнению, так что имеется не четыре, а только три независимых уравнения. Поэтому для каждого безразмерного комплекса можно произвольно выбирать значения двух показателей степени. Единственное ограничение при этом — каждое выбранное значение должно не зависеть от остальных. Указанное условие выполняется, если определитель, составленный из коэффициентов при оставшихся показателях, не равен нулю.
Поскольку мы хотим в итоге найти Тт, примем показатель степени при этой переменной а равным 1. Поскольку мы хотим, чтобы величина qG была независимой переменной, мы не будем комбинировать ее с Тт и примем ее показатель степени е равным 0. В результате получим систему уравнений
1 + O - с = 0,
с + 0 = 0, с + d - 0 = 0.
38 Глава 1
Решая эту систему, находим Ь = —1, с = 0, d = 0, и, таким образом, первым безразмерным критерием является отношение максимальной температуры к температуре поверхности щ = Тт/Ть
Чтобы найти Яг, примем а = 0, чтобы величина Гт выпала, а затем примем е = 1, чтобы независимая переменная входила в соотношение
для Uz в первой степени. Решая систему уравнений при выбранных значениях а и е, получим с = —1, b = —1, d = 2, следовательно,
? <7<з
Итак, решение рассматриваемой задачи можно выразить в общей функциональной форме (1.36)
T1 ~~Ч UTx /'
Анализ размерности не позволяет найти конкретную функциональную связь между JCi и Яг, но в гл. 2 будет показано, что эта связь имеет вид
т г 2 г"
Пример 1.11. Найти безразмерные параметры, связывающие результаты измерения падения давления Ap в трубе диаметром D и длиной L, если в ней со средней скоростью V течет жидкость, вязкость которой ц, а плотность р.
