Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Для простоты выведем уравнения в матричной форме, рассматривая только три поверхности, образующие замкнутую систему. Соответствующая тепловая цепь для этого случая представлена на рис. 6.28. Результирующую плотность потока для каждой из трех поверхностей можно получить, комбинируя уравнения (6.82) и (6.83). В результате для поверхности 1 получим
^)U = ^ -Ji) = Ji-G1. (6.95)
Падающее на поверхность 1 излучение Gi обусловлено энергией эффективного излучения, исходящего от поверхности 1 (если она вогнута и может «видеть» себя) и от двух других поверхностей, которые образуют замкнутую систему:
A1Gi = AiFi+Ji + A9FmJ* + (6.96)
Излучение 317
Применяя соотношения взаимности к уравнению (6.96), получим
Gi = FiWi + Fi W2 + FiW3. (6.97)
Подстановка уравнения (6.97) в уравнение (6.95) дает зависимость
ВДез = fr (Я*. - Л) = Л — CWi + ^1^2/2 + FiWs), (6.98)
которая может быть представлена в виде
(1 - Л-и + -Jl-) Ji + (- Л + (- Л*з) /з = A1. (6.99)
Аналогичные выражения можно написать для поверхностей 2 и 3. Они будут следующими:
(- F2+1) h + (1 - F2^2 + -f2 ) J2 + (- F2^3) /з = -g- Aw (6.100) (- F3-»і) Ji + (- F3^2)/2 + (l - F3^3 + /a = -g- Eb>. (6.101)
Уравнения (6.99) — (6.101) можно записать в матричной форме:
AJ = B. (6.102)
Для общего случая п поверхностей, образующих замкнутую систему, А есть п X я-мерная матрица, имеющая вид
A =
Oi1U22-" а2п
ап\<*пҐ * - <*пп
(6.103)
в то время как J и В — столбцевые матрицы, состоящие из п элементов:
J =
в=
(6.104)
(6.105)
Анализируя уравнения (6.99) — (6.101), можно видеть, что вне-Диагональные элементы матрицы А имеют вид
U4=Z-Ft+! - (і Фї), (6.106а)
318 Глава 6
а диагональные члены — вид
Pt
Элементы матрицы В будут следующими:
(6.1066)
(6.107)
Если в замкнутой системе имеется черная поверхность, то для нее уравнение (6.99) упрощается. Для черной поверхности
(6.108)
Следовательно, элементы матриц А и В для черного тела записываются в виде
0// = 0 (і ф J)9 (6.109а)
Hu = I9O9 (6.1096)
Ьі = ЕЬі. (6.110)
Если температуры всех поверхностей известны, задача определения результирующих плотностей тепловых потоков на всех поверхностях решается следующим образом. Сначала вычисляют элементы матриц А и В. Для всех нечерных поверхностей элементы матрицы А определяют по уравнению (6.106). Если «-я поверхность черная, тогда /-й ряд элементов матрицы А определяется уравнением (6.109). Заметим, что все элементы этой матрицы известны, поскольку определены геометрия и свойства поверхностей.
Элементы столбцевой матрицы В определяются уравнением (6.107) для всех нечерных поверхностей и уравнением (6.110), если поверхность черная. Элементы матрицы В зависят от свойств поверхностей и известных температур.
После того как определены матрицы А и В, обращают матрицу А. Обратной матрице А будет матрица С
А-] = С =
С21С22* * " С2п
Сп\сп2'
(6.111)
в которой все элементы — известные величины. Элементы J можно теперь определить, решая уравнение (6.102):
J = CB,
(6.112)
Излучение 319
которое можно записать в развернутом виде следующим образом:
* і • (6.113)
Jn = on\b\ + cn2b2+ ... +cnnbn.
После того как из уравнения (6.113) определены значения плотности потока эффективного излучения на всех поверхностях, можно воспользоваться уравнением (6.95) для определения значений плотностей результирующих тепловых потоков для всех поверхностей. Плотность результирующего теплового потока для нечерной поверхности і будет равна
^iYU = ^{Eb-J1). (6.114)
Если поверхность і черная, выражение для плотности результирующего потока получится из совместного рассмотрения уравнений (6.95) и (6.97)'):
Поверхности с заданной плотностью результирующего теплового потока
Допустим, что температуры всех поверхностей, которые образуют замкнутую систему, неизвестны, но плотность результирующего теплового потока на всех поверхностях задана. Уравнение (6.98) можно преобразовать в матричную форму с известными величинами, исключив неизвестные Еь и включив известные (<7)р'ез. В результате для поверхности 1 замкнутой системы, состоящей из трех поверхностей, получим
(1 - Л-и) А + (- + ( - ^a) h = №з- (в-116)
Аналогичные выражения можно записать для других двух поверхностей.
Для задачи, в которой температуры не известны, а задана плотность результирующего теплового потока на каждой поверхности, уравнение (6.116) означает, что внедиагональные элементы матрицы А в матричном уравнении (6.102) будут следующими:
aii = — Fi+i {іФІ)> (6.117а)
а элементы диагонали будут равны
__ aH = l -~Fi->i. (6.1176)
1) Следует заметить, что уравнение (6.115) справедливо и для случая, когда поверхность і нечерная. — Прим. перев.
320 Глава 6
Элементы матрицы В имеют вид
Ьі=ш;із. (елів)
При такой форме записи элементы обеих матриц А и В известны.
Как только определены элементы А и В, получаем следующее решение. Выполняя обращение матрицы А, в результате получаем матрицу С. Элементы матрицы плотности потока эффективного излучения определяются уравнением
J = CB.
