Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 64

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 263 >> Следующая

предположение верно. Назовем эти моды "ограниченными". Они возникают на
частотах, примерно равных резонансным частотам системы, показанной на
рис. 3.12.
Интересным свойством "ограниченных" мод является то, что число их
конечно, даже если число маятников в дисперсивной области сколь угодно
велико. Дело в том, что частоты "ограниченных" мод имеют в качестве
верхнего предела частоту Vg/l2. Для (r)2> >g!li внешняя область становится
дисперсивной, и колебания не будут больше ограничены центральной
(дисперсивной) областью между двумя "стенками".
В квантовой физике волны де Бройля для электронов в атоме ведут в себя в
определенном смысле подобно "ограниченным" модам рассматриваемой системы
маятников. Такие состояния электронов называются стационарными
состояниями. Пример квантовой системы со стационарными состояниями (их
называют еще связанными состояниями электрона) рассмотрен в дополнении
(см. Д.З).
Точное решение для вынужденных колебаний системы связанных маятников. Мы
рассматривали свойства вынужденных колебаний связанных маятников в
непрерывном приближении. Найдем теперь точное решение уравнения движения
маятника, находящегося в ряду связанных маятников. Перепишем уравнение
(62):
Предположив, что все движущиеся элементы совершают гармоническое движение
с одинаковой частотой и фазой
К.
Ф"= - (r)Ж + м Ж+i-:Ж+Фв-О-
(91)
= А" cos at,
(92)
139
получим
щМ 0)2/1 A -L^Hf ^п + \ + Ап-\
ы Лп о и м Лп + Д| I 2
т. е.
Дисперсивная область частот. (В радиотехнике она называется "полосой
пропускания".) В дисперсивной области колебания синусоидальны в
пространстве. Предположим, что решение имеет вид
Ап = A sin kna-^B cos kna, (94)
тогда
An+1 = A sin (kna -f ka) -f В cos (kna + ka), (
(95)
An_1 = A sin (kna-ka) -j-B cos (kna-ka) и
An+1 + Aa-i = 2A sin kna cos ka-\-2B cos kna cos ka -
= 2 cos ka (A sin kna -f- В cos kna) = (2 cos ka)An. (96)
Подставляя этот результат в уравнение (93), получим

со2 = со2+ ^(1-cos ka), (97)
т. е.
<o* = <oZ + ?sin*%. (98)
Уравнение (98) представляет собой закон дисперсии для дисперсивной
области частот. Оно определяет частоты от со2=со^ до о)2=со"+ А-4Д/М, что
соответствует значениям ka от ka=0 до ka=n. Уравнение (98)-точно такое же
дисперсионное соотношение, которое было получено для системы свободно
колеблющихся маятников [см. уравнение (2.90) п. 2.4].
Нижняя реактивная область. Используя наш опыт нахождения решений в случае
непрерывного приближения, предположим, что общее решение для частот,
меньших нижней граничной частоты со0, имеет вид экспоненциальной волны:
Ал = Ае~*па + Ве+та. (99)
Тогда
^n+i + ^л-1 = (еш-\-е~га) Ап. (100)
Из уравнения (93) получаем закон дисперсии
^ = < + Ж
1-4
Уравнение (101) можно привести к виду, похожему на уравнения (97) и (98).
Используя гиперболические синусы и косинусы [см. приложение I, уравнения
(11) и (13)1, находим
(c)* = ш" + ^(1-ch ка) (102)
140
или
Л.К 1
co' = G)g-^sh2-lxa. (103)
При со=со0 уравнение (98) дает k=0 и уравнение (103) также дает и=0. Это
соответствует плоским волнам, и, таким образом, мы получили совпадение
характера волн на границе.
Верхняя реактивная область. Эта область включает в себя частоты, большие
верхней частоты сотах, где co2max=cog-f4KIM. Мы познакомились с этой
областью при изучении фильтров с двумя
\[Мд/К1/а
Рис. 3.13. Полное дисперсионное соотношение для связанных маятников. а)
Частота больше высокочастотного порога: волны являются зигзагообразными
экспоненциальными волнами; б) область дисперсионных частот:
синусоидальные волиы; в) частота меньше низкочастотного порога:
экспоненциальные волны.
степенями свободы. Мы нашли, что вынужденные колебания с частотой
большей, чем верхняя частота, имеют "зигзагообразную" форму, подобную
той, которую имеют самые высокие моды, и что они также уменьшаются по
амплитуде с удалением от входа системы. (См. рис. 3.6.) Предположим, что
форма Ап определяется экспоненциальной "зигзагообразной" волной'.
An = (-\)n{Ae~%na + Be+%na). (104)
Тогда мы получим результат, отличающийся от уравнения (100) только
знаком:
Ап+г + ЛП_ 1 = -А" (е" + е-").
Уравнение (93) даст закон дисперсии
2 " <+ Ж { 1 +Т (*"+*-")}= "о + § {1 + ch (105)
(106)
СО
<02 = ы1 + ~-сЪ24гУса.
141
При х=0 w3=w"+4/C/M=(r)max. Таким образом, точно на верхней граничной
частоте сотах у нас нет ослабления.
На рис. 3.13 показано полное дисперсионное соотношение для всех частот в
соответствии с уравнениями (98), (193) и (106).
Задачи и домашние опыты
3.1. Выполните алгебраические действия, необходимые для получения
равенства (10):
Е = Е0е~^х.
3.2. С помощью подстановки покажите, что смещение х1 (0, определяемое
уравнением (3), является решением уравнения (2) движения гармонического
затухающего осциллятора.
3.3. Покажите, что если хх (t) является решением уравнения (1) для
вынуждающей силы /0 (0 и х2 (t) - решением для другой вынуждающей силы F2
(t), то силе F (t)=F\ (0+Та (9 соответствует решение х (t)=x1 (0+*.2 (9
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed