Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
иметь только убывающую экспоненту смещения:
ф(г, t) = A (z) cos со/, (75)
A(z) = Ae~KZ. (76)
относительное уменьшение амплитуды
на единице длины. (77)
Это выражение равно х, если А (г) задано выражением (76). С другой
стороны, когда А (г) равно В exp (+xz), амплитуда уменьшается
при уменьшении г, а не при возрастании. Однако это не
вызывает
путаницы, и мы по-прежнему будем называть х коэффициентом пог-
где
1 dA (г) А (г) dz
134
лощения. В случае общего решения Л ехр (-xz)-f.Bexp (+xz) мы оставим то
же название для х, несмотря на то что для некоторых интервалов z
амплитуда А (г) может возрастать, а для некоторых- уменьшаться.
Величина, обратная к, представляет собой длину б, на которой амплитуда
ехр (-xz)=exp (-2/6) уменьшается в е=2,718 раз. Она называется глубиной
проникновения амплитуды или просто глубиной проникновения:
1/и = 6. (78)
Можно провести некоторую аналогию между коэффициентом поглощения и для
экспоненциально убывающих волн и волновым числом k для синусоидальных
волн. В первом случае х - это относительное ослабление амплитуды на
единицу длины, во втором случае k- это число радиан на единицу длины.
Точно так же есть некоторая аналогия между глубиной проникновения б и
длиной волны Я: б.- это расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е
раз, а Я - это расстояние, на котором фаза увеличивается на 2л.
Дисперсионные соотношения. Если частота со больше нижней граничной
частоты, то мы имеем синусоидальные волны, для которых частота и волновое
число связаны уравнением (69). Перепишем его в виде
= + (79)
Для со, меньших нижней граничной частоты со0, синусоидальных волн нет.
(Они "срезаются".) В этом случае вместо синусоидальных волн имеем
экспоненциальные волны. Частота со и коэффициент ослабления х связаны
соотношением (71), которое запишем в виде
(r)2=(°о-(дг)*2- (8°)
Выражения (79) и (80) представляют собой полное дисперсионное соотношение
для системы (в непрерывном приближении).
Для частотного диапазона, в котором вынужденные колебания синусоидальны,
дисперсионное соотношение (79) совпадает с дисперсионным соотношением для
мод свободных колебаний. [См. п. 2.4, уравнения (2.90)- (2.92).] Это не
случайно. При выводе дисперсионного соотношения в обоих случаях мы
находили уравнение движения груза и затем предполагали, что все
движущиеся элементы совершают гармоническое движение с одной частотой со
(в одном случае с частотой моды, в другом - с частотой установившихся
колебаний) и с одинаковой фазовой постоянной. Таким образом, это общий
результат: дисперсионное соотношение для вынужденных синусоидальных
колебаний то оке, что и для свободных колебаний,
Дисперсивная и реактивная среда. В рассматриваемом нами примере "среда",
в которой возникают волны, представляет собой систему связанных
маятников. Если в среде могут существовать
135
синусоидальные волны, она называется дисперсивной (или прозрачной)
средой. Это значит, что частота со не ниже граничной частоты со0. Среда,
в которой не может быть синусоидальных волн, но возможны экспоненциальные
волны (без рассеяния энергии), называется реактивной. Одна и та же среда
может быть реактивной на одних частотах и дисперсивной на других, как в
случае связанных маятников.
Пример 10. Ионосфера. Ионосфера - это пример среды (для электромагнитных
волн), которая дисперсивна (т. е. прозрачна) для частот, больших
некоторой граничной частоты (эта частота называется также частотой
колебаний плазмы vp), и реактивна (непрозрачна) для меньших частот.
Дисперсионное соотношение для вынужденных колебаний в ионосфере очень
похоже на дисперсионное соотношение для связанных маятников:
ы2 = (r)2 +с2&, <й><Лр\ \
(О2 = СОр-С2Х2, СО < dip. |
Частота колебаний плазмы - это частота самой низкой моды колебаний
свободных электронов. Мы получили в п. 2.4 формулу (2.99). Типичные
значения частоты колебаний плазмы vp (-("p/2ti) в дневное время лежат
между 10 и 30 Мгц. Пусть "к одному концу ионосферы" приложена "сила",
создаваемая некоторой радиостанцией, работающей на типичных
широковещательных частотах амплитудной модулцции порядка v = 1000 кгц. В
этом случае v^v^, и ионосфера ведет себя как реактивная среда.
Электромагнитные волны экспоненциально затухают, аналогично тому, что
происходило в случае связанных маятников (см. рис. 3.11). При этом над
ионосферой не совершается никакой работы, так как скорости каждого
электрона сдвинуты на ±90° по фазе по отношению к окружающему их
электрическому полю. В случае системы маятников (см. рис. 3.11) средняя
энергия, сообщаемая системе внешней силой, также равна нулю (затуханием
пренебрегаем). Энергия, которая сообщается маятнику, возвращается им
обратно в течение цикла. Несколько иначе обстоит дело в случае
радиостанции и ионосферы. Станция получает обратно очень малую часть
переданной в ионосферу энергии. Ионосфера не поглощает энергию, но волны
отражаются к Земле, захватывая большой район и не попадая в передатчик.
