Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Синусоидальные волны; со2>оз2. При со2>со20 уравнение (67) имеет вид
*^) = _ftM(z), (68)
где № •-положительная константа:
?* = (<о*-<o*)^. (69)
Уравнение (69) представляет собой дисперсионное соотношение для волны в
случае со2;>со2. Общее решение уравнения (68) имеет вид
А (г) = A sin kz -\-В cos kz, (70)
где А и В - константы, определяемые из граничных условий. В зависимости
от граничных условий существуют определенные волновые числа (и
соответственно частоты внешнего воздействия), которые соответствуют
"резонансу". Резонансные частоты совпадают с частотами нормальных мод
(стоячих волн) свободно колеблющейся системы.
Теперь рассмотрим второй случай, имеющий важное значение.
Экспоненциальные волны, со2<со"- Если со2 меньше о2, мы определим
положительную константу к как положительный квадратный корень из
положительной величины
*2 = K-"2)^. (71)
Уравнение (71) представляет собой дисперсионное соотношение для системы,
у которой со2<со". В этом случае уравнение (67) принимает вид
?^ = иМ(г). (72)
Наличие плюса в правой части уравнения (72) дает решение, совершенно
отличное от синусоидального решения уравнения (68). Решение уравнения
(68), т. е. синусоидальная функция А (г), определяемая решением (70),
пересекает ось г и после пересечения меняет знак кривизны и снова
пересекает ось и т. д., колеблясь в пространстве. В противоположность
этому плюс в правой части уравнения (72) означает, что функция А (г)
постоянно удаляется от оси г. Поэтому, если решение А (г) положительно и
имеет положительный наклон (или отрицательно, с отрицательным
132
наклоном), то оно никогда не вернется на ось г. Если А (г) положительно и
имеет отрицательный наклон, оно будет приближаться к оси 2 все более
медленно с возрастанием 2. Если А (г) в конце концов пересечет ось г,
имея отрицательный наклон, то с ростом г отрицательное значение А (г)
будет расти и А (г) больше не пересечет оси г.
Общее решение уравнения (72) представляет собой суперпозицию двух
экспоненциальных функций:
А (г) = Ae~"z + Be+xz. (73)
Чтобы убедиться в этом, продифференцируем это решение:
-Jp - -%Ae~%z А-кВе+'лг,
d dz2^ ~ -ф (к)2 Be+xz = и2Л (г).
Мы видим, что решение (73) удовлетворяет уравнению (72). Постоянные А и В
определяются из граничных условий. Таким образом, для оУ2<о)2 общее
решение ф (г, t) имеет вид
ф(г, ^) = (Ле_хг + 5е+х2)соз(со/ + ф). (74)
Связанные маятники как фильтр высоких частот. Уравнение (74) дает общую
форму экспоненциальной волны. Частота co2=gИ представляет собой граничную
частоту для низких частот. Этого можно было ожидать, поскольку для
простой системы из двух маятников было получено такое же выражение. На
частоте самой низкой моды все маятники колеблются в фазе друг с другом и
возвращающая сила образуется только за счет силы тяжести. Пружины не
сжаты и не растянуты. Длина волны "бесконечна", т. е. к равно нулю. Если
к системе приложена внешняя сила с частотой, меньшей граничной частоты,
то в системе не могут поддерживаться синусоидальные пространственные
соотношения для относительных амплитуд колеблющихся грузов. В этом случае
относительные амплитуды маятников будут экспоненциально зависеть от
расстояния, как это следует из решения (73). Таким образом, система будет
вести себя как высокочастотный фильтр. (В действительности она будет
полосовым фильтром, но, пользуясь непрерывным приближением, мы не можем
изучить отклик системы на колебания больших частот, в которых участвуют
высокие моды с их "зигзагообразной" конфигурацией.)
Предположим, что сила приложена в точке 2=0 и что система простирается от
2=0 до z=L и в этой точке (z=L) она привязана к жесткой стене. Интуитивно
ясно, что, если воздействовать на систему с частотой, меньшей граничной
частоты, амплитуда А (г) должна уменьшаться с увеличением расстояния 2 от
точки приложения силы. Если система имеет очень большую длину, т. е. L
велико, то в точке z-L амплитуда должна быть очень малой. В пределе,
когда L бесконечно велико, амплитуда в точке z=L должна
133
равняться нулю. Это значит, что член В exp (+xz) в уравнении (74) должен
исчезнуть, т. е. В должно равняться нулю. Это правильная догадка. (См.
задачу 3.30.)
На рис. 3.11 показан пример, соответствующий такому случаю. Заметим, что
в этом примере не так уж важно, привязан ли конец в точке z-L. Если xL/^>
1, то амплитуда колебаний станет равной нулю раньше, чем мы достигнем
точки z=L. Таким образом, мы
Рис. 3.11. Связанные маятники, на которые слева действует вынуждающая
сила с частотой,
меньшей пороговой частоты со0. а) Мгновенная конфигурация системы; б)
график А(г).
можем экспериментально осуществить "бесконечную" длину при конечном L,
сделав L значительно больше 1/х. (См. домашний опыт 3.16.)
Терминология для экспоненциальных волн. Постоянная х называется
коэффициентом поглощения. Она характеризует относительное уменьшение
амплитуды на единице длины. Рассмотрим амплитуду А (г), образованную
внешней силой на левом конце системы, достаточно длинной для того, чтобы
