Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 60

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 263 >> Следующая

рассматривать поведение системы вдали от резонанса. (Из п. 3.3 нам
известно, как ведет себя система в области резонанса.)
Относительные фазы движущихся элементов. Важным следствием пренебрежения
амплитудой поглощения является то, что вклад каждой моды (в смещение
данного элемента) находится в фазе либо в противофазе с внешней силой F0
cos (со^+ф0)- Действительно, в п. 3.3 было показано, что амплитуда
дисперсии представляет собой константу (положительную или отрицательную),
которая умножается на cos (со^+ф0)- К этому же результату можно прийти
5 Ф. Крауфорд
129
иначе. Предположим, что затухания нет, но тем не менее нам удалось
заставить систему войти в установившийся режим, в котором она совершает
колебания с частотой со внешней силы. Поскольку затухание отсутствует, то
нет и рассеивания энергии. Поэтому приложенная внешняя сила не будет
совершать никакой работы над движущимися элементами. Это значит, что
смещение любого движущегося элемента либо находится в фазе, либо сдвинуто
на 180° относительно внешней силы, т. е. мы имеем "чистые" амплитуды
дисперсии.
Таким образом, мы получили важный результат: в установившемся режиме (и
для частоты со, далекой от резонанса) каждый движущийся элемент имеет
одну и ту же фазу, совпадающую с фазой внешней силы. (Мы считаем, что
амплитуда каждого движущегося элемента может быть положительной или
отрицательной, и не упоминаем о возможном 180-градусном сдвиге.) Другой
вывод заключается в том, что возвращающая сила, приходящаяся на единицу
массы и на единицу смещения, имеет одно и то же значение для всех
движущихся элементов. Это верно, потому что каждый движущийся элемент
колеблется с одинаковой частотой. (Обратите внимание на то, что эти же
условия справедливы для отдельной нормальной моды свободно колеблющейся
системы без затухания!)
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы перейти к отдельным примерам.
Пример 9. Связанные маятники. Меняя названия (например, заменяя "длину
струны" на "емкость" и "массу" на "индуктивность")
и m3.
wvwwww
иш.3. ИТ>
V
I
м к

>п~1 a а
Рис. ЗЛО. Связанные маятники с неуказанными граничными условиями.
и рисуя новые схемы, мы можем, не повторяя вычислений, понять поведение
весьма различных физических систем, основываясь на результатах,
полученных для связанных маятников. (Мы часто так поступали в главе 2.)
Здесь нас интересуют только связанные маятники.
На рис. 3.10 показаны три одинаковых связанных маятника, следующие один
за другим (полное число маятников в последовательности не определено, и
граничные условия не указаны). Уравнение движения для смещения ф" (t)
гири "-го маятника имеет вид (для малых колебаний)
Щп = - МсоЖ + Х (фл+1-ф")- К (Фл-Ф"_1), (62)
130
где co|j=gИ. Прежде чем изучать точное решение уравнения (62), рассмотрим
его решение в непрерывном приближении. Это значит, что мы отказываемся от
информации о движении для конфигураций, соответствующих самым высоким
модам свободных колебаний, для которых соседние маятники имеют "лево-
правую" конфигурацию. ("Лево-правое"-это продольный аналог поперечного
"зигзага".) Мы должны будем поэтому ограничить себя сверху по частоте.
Только имея точное решение, мы сможем рассмотреть частоты внешней силы,
лежащие у верхней границы полосы пропускания и за ней.
Непрерывное приближение. Предположим, что ф" (t) медленно меняется с
увеличением п. Это значит, что все маятники в небольшой окрестности
маятника п (который имеет положение равновесия в точке г) движутся
приблизительно так же, как маятник п, так что смещение можно считать
непрерывной функцией ф (г, t). Разложим соответствующие члены в уравнении
(62) в ряд Тейлора:
Подставив эти выражения (а также ф" (0=<32Ф(г> t)ldtz) в уравнение
(62), получим
Волновое уравнение Клейна - Гордона. Уравнение (63) - знаменитое
уравнение. Оно превращается в классическое волновое уравнение, когда со0
равно нулю. Его иногда называют "волновым уравнением Клейна-Гордона".
(Оно справедливо для волн де Бройля в случае релятивистских свободных
частиц. См. Д. 2.)
Мы предполагаем, что все движущиеся элементы находятся в установившемся
режиме и колеблются с частотой со вынуждающей силы, что эта сила не
совершает работы и что фазовые постоянные у всех движущихся элементов
одинаковы. В этом случае
Ф"-и(0 = Ф(г + а. 0 = Ф(г> 0 + "
Э2ф (г, t) .
-лй--------Г • ••>
дг2 Э2ф (г, С)
дг2
Ф"- 1(0=Ф(г-М) = Ф(г, t) - a
Эф (г, t) 1
Эг
Таким образом,
}(а2 Э2ф (г, О М dz2
(63)
ф(г, t) = cos (со? + ф) А (г),
^ Ф = . ГА2 ГПЧ Сга/ J- ГгЛ ф (З),
(64)
(65)
(66)
5*
131
Подставляя уравнения (64), (65) и (66) в (63) и сокращая на cos (соН-+Ф),
получим дифференциальное уравнение для пространственной конфигурации А
(г) маятников в установившемся режиме под действием силы с частотой со:
^ = зЙгК-(r)*)Л(2)- (67)
Решения уравнения (67) сильно отличаются, если со2>со^ и со2<со". В
первом случае мы получаем синусоидальные волны, которые были рассмотрены
ранее (в п. 2.2) для непрерывной струны.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed