Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
частотой полосы пропускания. Если со больше со2, отношение амплитуд будет
оставаться отрицательным. Оно уменьшается по величине с возрастанием со и
становится равным -(со!-(c)1)/2со2 для существенно больших частот. Таким
образом, частоты, большие верхней граничной частоты, сильно ослабляются.
Пример 5. Механический фильтр низких частот. Рассмотрим систему из двух
связанных маятников (рис. 3.3). Будем увеличивать высоту точек подвеса и
длину струн (так чтобы гири остались на месте). Когда струны станут
"бесконечно длинными", их можно считать вертикальными для любого
конечного смещения масс. Сила тяжести не создает в этом случае
возвращающей силы, и наша система эквивалентна системе связанных масс,
находящихся
Фа С?>1 + (О? - 2(02
Фй ^ toj - col
(56)
где
К_
М
(57)
125
на поверхности без трения. Частота, соответствующая самой низкой моде,
(s)\=gH, будет стремиться к нулю. Таким образом, мы получаем фильтр
низких частот, который пропускает частоты в диапазоне от нуля до верхней
граничной частоты со^=2KIM. (Этот результат справедлив и для системы из
двух связанных пружиной масс, лежащих на поверхности без трения, к одной
из которых приложена гармоническая сила.) Отношение амплитуд фг,/фа
определяется из уравнения (56) при соь равном нулю:
Это отношение равно +1 для нулевой частоты. Оно бесконечно (имеется в
виду, что фо=0) для co2=V2w^, равно -1 для верхней граничной частоты и
становится очень малым (и отрицательным) на очень больших частотах.
Рассмотрим применение равенства (58). Предположим, что мы имеем очень
тонкую и чувствительную аппаратуру, которая не может работать при
горизонтальных вибрациях, но вертикальные вибрации допускаются. Установим
нашу аппаратуру на плоской подставке, которая в свою очередь помещается
на ровном горизонтальном столе без трения. Предположим, что стены, пол и
потолок вибрируют с частотой 20 гц и более. Предположим также, что если
подставка с прибором жестко прикреплена к стенам, то амплитуда колебаний
будет в 100 раз больше допустимой. Пусть вес прибора и подставки 10 кг.
Как нам быть? Прикрепим подставку с прибором к стене через низкочастотный
фильтр, состоящий из двух пружин, оси которых совпадают с осями х и у.
Положим, что каждая пружина имеет коэффициент жесткости К (его величину
нужно будет определить). Движения по направлениям х и у независимы, так
что можно рассматривать движение только по х. Будем считать, что стена в
точке соединения с пружиной представляет собой движущийся элемент а, а
прибор -• это движущийся элемент Ь. Теперь, применяя к нашему случаю
уравнение (58), будем считать, что мы имеем две массы, связанные
пружиной, причем на массу а действует сила F0cosat. Мы хотим, чтобы
отношение ф&/фа было меньше 10-2 для частот 20 гц и выше:
Для неподвижной стены собственная угловая частота колебаний прибора и
подставки равна YК/М. Мы видим, что если нужно ослабить частоты от
частоты v и выше в 10_2=/ раз, то коэффициент жесткости К пружины должен
быть достаточно мал, чтобы собст-
Фь cof к/м
Фа ~ - 2со2 ~ (К/М)-- со2 '
(58)
т. е.
К_
м
126
венная частота колебаний прибора была меньше f^v. В нашем примере
собственная частота должна быть меньше 20/10=2 гц.
Другой пример. Предположим, что вам неудобно сидеть на полу, который
вибрирует с частотой 20 гц (это может быть пол самолета или что-нибудь в
этом роде), поэтому вы сидите на "подушке". Подушка уменьшает
вертикальную вибрацию в 100 раз (теперь вам удобно). Как сильно
продавится под вами подушка? Г
(Задача 3.12.) +т а а е)3
Пример 6. Электрический -?
широкополосный фильтр. Рассмот- '----*---------------
рим электрический аналог меха- " 0 "
~ г Рис. 3.8. Связанные LC-цепи, находя-
НИЧеСКОИ СИСТеМЫ ИЗ двух связан- щиеся под действием разности
потен-
ных маятников, показанной на " диалов v(0-
* . . Эта схема является электрическим аиа-
рИС. 3.3. Каждая масса ГЛ заме- логом двух связанных маятников
(см.
няется индуктивностью L. Связы- рпс' 3'3>'
вающие пружины с коэффициентом жесткости К заменяем емкостями с величиной
обратной емкости С-1. Возвращающая сила, происходящая от силы тяжести,
зависит от величины смещения маятника и не зависит от его соединения с
другим маятником. Аналогично этому мы хотим создать э. д. с. на каждой
индуктивности независимо от ее связи с другими индуктивностями. Это можно
сделать, разделив индуктивность на две части и включив емкость С0 между
ними. Пренебрежем активным сопротивлением R индуктивностей (это
сопротивление проводов, из которых сделаны индуктивности). Все другие
сопротивления пренебрежимо малы. Полученная нами система показана на рис.
3.8.
Представляем читателю найти уравнение движения и определить нормальные
координаты и моды (задача 3.29). Приводим конечный результат, написанный
по аналогии со связанными маятниками:
мода 1: /а = /6, co? = -f
с~
мода 2: /а = - I ь, со\ = -г
2С-. (59)
Уменьшение амплитуды при прохождении через фильтр (в предположении, что
